\lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{x^{2}-5 x+4}{\sqrt{x}-2}}=

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 4}\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{x^{2}-5x+4}{\sqrt{x}-2}}.
Informações dadas relevantes:
  • A base é \displaystyle \frac{1}{e} (um número positivo).
  • O expoente é \displaystyle \frac{x^{2}-5x+4}{\sqrt{x}-2}.
  • Ao observar x\rightarrow 4 temos \;x^{2}-5x+4=0 e \;\sqrt{x}-2=0, ou seja, o expoente tem a forma indeterminada 0/0.
    Não vamos resolver nada ainda; apenas anotamos que é preciso simplificar o expoente para remover a indeterminação.

Passo 2

Fatoramos o numerador \displaystyle x^{2}-5x+4. Para fatorar um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c procuramos dois números cuja soma seja b e cujo produto seja a\cdot c. Aqui a=1, b=-5, c=4. Os números são -1 e -4, então
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).
Mostrei o passo de fatoração para não pular etapas.

Passo 3

Usamos a identidade da diferença de quadrados para escrever x-4 em termos de \sqrt{x}:
x-4=(\sqrt{x})^{2}-2^{2}=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).
Substituindo essa expressão no numerador, o expoente fica
\frac{x^{2}-5x+4}{\sqrt{x}-2}=\frac{(x-1)(x-4)}{\sqrt{x}-2}=\frac{(x-1)(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2}.

Passo 4

Cancelamos \sqrt{x}-2 (válido para x próximos de 4 com x\neq 4; isso preserva o limite):
\frac{(x-1)(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2}=(x-1)(\sqrt{x}+2).
Agora o expoente simplificado é a função g(x)=(x-1)(\sqrt{x}+2), que é contínua em x=4 (produto e soma de funções contínuas). Logo podemos avaliar o limite do expoente substituindo x=4:
\lim_{x\to 4}(x-1)(\sqrt{x}+2)=(4-1)(\sqrt{4}+2)=3\cdot(2+2)=3\cdot 4=12.

Passo 5

Agora use a continuidade da função exponencial com base positiva. A função h(u)=\left(\frac{1}{e}\right)^{u} é contínua em u, portanto
\lim_{x\to 4}\left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{x^{2}-5x+4}{\sqrt{x}-2}}=\left(\frac{1}{e}\right)^{\lim_{x\to 4}\frac{x^{2}-5x+4}{\sqrt{x}-2}}=\left(\frac{1}{e}\right)^{12}.
Reescrevendo \left(\frac{1}{e}\right)^{12}=e^{-12}.

Resposta

e^{-12}

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