Passo 1
O que o problema pede: calcular o limite
.
Informações dadas relevantes:
- A base é
(um número positivo). - O expoente é
. - Ao observar
temos e , ou seja, o expoente tem a forma indeterminada .
Não vamos resolver nada ainda; apenas anotamos que é preciso simplificar o expoente para remover a indeterminação.
Passo 2
Fatoramos o numerador
. Para fatorar um polinômio quadrático
procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Aqui
,
,
. Os números são
e
, então
Mostrei o passo de fatoração para não pular etapas.
Passo 3
Usamos a identidade da diferença de quadrados para escrever
em termos de
:
Substituindo essa expressão no numerador, o expoente fica
Passo 4
Cancelamos
(válido para
próximos de
com
; isso preserva o limite):
Agora o expoente simplificado é a função
, que é contínua em
(produto e soma de funções contínuas). Logo podemos avaliar o limite do expoente substituindo
:
Passo 5
Agora use a continuidade da função exponencial com base positiva. A função
é contínua em
, portanto
Reescrevendo
.