Exemplo 38. Localize e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=2 x^{3}+y^{3}-3 x^{2}-3 y

Passo 1

O enunciado pede para “localizar e classificar os pontos críticos” da função
f(x,y)=2x^{3}+y^{3}-3x^{2}-3y.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função explícita f(x,y) está acima.
  • Precisamos encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou as derivadas parciais não existem) e, para cada ponto crítico, dizer se é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
    Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Definição e estratégia (aula prática antes de começar a conta):
  • Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se as derivadas parciais de primeira ordem satisfazem
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0,
ou se alguma delas não existir (aqui existem, então usaremos igual a zero).
  • Para classificar um ponto crítico usamos o teste das segundas derivadas (teste do discriminante/Hessiano) para funções de duas variáveis: calcule as segundas derivadas f_{xx},f_{yy},f_{xy} e o determinante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}.
As regras são:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
    Agora vamos aplicar isso passo a passo à nossa função.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem (mostrando cada passo):
Derivando em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{3}-3x^{2}\big)=6x^{2}-6x.
Derivando em relação a y, tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}-3y\big)=3y^{2}-3.
Observação: cada termo que não depende da variável tratada some ao derivar (por exemplo y^3 some na derivada em x).

Passo 4

Resolva o sistema \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0:
Escrevendo as equações:
6x^{2}-6x=0,\qquad 3y^{2}-3=0.
Dividindo por constantes para simplificar (isso não altera as raízes):
6x(x-1)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\\ \text{ou}\\ x=1,
3(y^{2}-1)=0\quad\Rightarrow\quad y^{2}-1=0\\ \Rightarrow\\ y=\pm 1.
Combinação das soluções independentes em x e y gera os pontos críticos:
(x,y)\in\{(0,1),\\ (0,-1),\\ (1,1),\\ (1,-1)\}.

Passo 5

Calcule as segundas derivadas necessárias (mostrando a derivação):
Derivando novamente:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(6x^{2}-6x\big)=12x-6,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(3y^{2}-3\big)=6y,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(6x^{2}-6x\big)=0.
Observação importante: f_{xy}=0 aqui porque os termos em x e y na função são separados (não há termo misto xy), então a derivada mista é zero.

Passo 6

Aplique o teste das segundas derivadas no ponto (0,1):
Calcule cada peça:
f_{xx}(0,1)=12\cdot 0-6=-6,
f_{yy}(0,1)=6\cdot 1=6,
D(0,1)=f_{xx}(0,1)\,f_{yy}(0,1)-\big(f_{xy}(0,1)\big)^{2}=(-6)\cdot 6-0=-36.
Como D(0,1)=-36<0, pelo critério temos que (0,1) é um ponto de sela.

Passo 7

Aplique o teste no ponto (0,-1):
Calcule:
f_{xx}(0,-1)=12\cdot 0-6=-6,
f_{yy}(0,-1)=6\cdot(-1)=-6,
D(0,-1)=(-6)\cdot(-6)-0=36.
Aqui D(0,-1)=36>0 e f_{xx}(0,-1)=-6<0. Pelo critério, isso indica que (0,-1) é um máximo local.

Passo 8

Aplique o teste no ponto (1,1):
Calcule:
f_{xx}(1,1)=12\cdot 1-6=6,
f_{yy}(1,1)=6\cdot 1=6,
D(1,1)=6\cdot 6-0=36.
Aqui D(1,1)=36>0 e f_{xx}(1,1)=6>0. Pelo critério, (1,1) é um mínimo local.

Passo 9

Aplique o teste no ponto (1,-1):
Calcule:
f_{xx}(1,-1)=12\cdot 1-6=6,
f_{yy}(1,-1)=6\cdot(-1)=-6,
D(1,-1)=6\cdot(-6)-0=-36.
Como D(1,-1)=-36<0, (1,-1) é um ponto de sela.

Resposta

(0,1): ponto de sela
(0,-1): máximo local
(1,1): mínimo local
(1,-1): ponto de sela

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