Exemplo 38. Localize e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado pede para “localizar e classificar os pontos críticos” da função
Informações dadas que vamos usar:
- A função explícita
está acima. - Precisamos encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou as derivadas parciais não existem) e, para cada ponto crítico, dizer se é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Definição e estratégia (aula prática antes de começar a conta):
- Um ponto
é ponto crítico se as derivadas parciais de primeira ordem satisfazem
ou se alguma delas não existir (aqui existem, então usaremos igual a zero).
- Para classificar um ponto crítico usamos o teste das segundas derivadas (teste do discriminante/Hessiano) para funções de duas variáveis: calcule as segundas derivadas
e o determinante
As regras são:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora vamos aplicar isso passo a passo à nossa função.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem (mostrando cada passo):
Derivando em relação a , tratando
como constante:
Derivando em relação a
Derivando em relação a
, tratando
como constante:
Observação: cada termo que não depende da variável tratada some ao derivar (por exemplo
some na derivada em
).
Passo 4
Resolva o sistema
e
:
Escrevendo as equações:
Escrevendo as equações:
Dividindo por constantes para simplificar (isso não altera as raízes):
Combinação das soluções independentes em
e
gera os pontos críticos:
Passo 5
Calcule as segundas derivadas necessárias (mostrando a derivação):
Derivando novamente:
Derivando novamente:
Observação importante:
aqui porque os termos em
e
na função são separados (não há termo misto
), então a derivada mista é zero.
Passo 6
Aplique o teste das segundas derivadas no ponto
:
Calcule cada peça:
Calcule cada peça:
Como
, pelo critério temos que
é um ponto de sela.
Passo 7
Aplique o teste no ponto
:
Calcule:
Calcule:
Aqui
e
. Pelo critério, isso indica que
é um máximo local.
Passo 8
Aplique o teste no ponto
:
Calcule:
Calcule:
Aqui
e
. Pelo critério,
é um mínimo local.
Passo 9
Aplique o teste no ponto
:
Calcule:
Calcule:
Como
,
é um ponto de sela.