1. \lim _{x \rightarrow 1} \ln \left(\frac{5-x^{2}}{1+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to1}\ln\!\Bigl(\frac{5 - x^{2}}{1 + x}\Bigr).
Aqui vamos usar o fato de que \ln é contínua em todo ponto onde seu argumento é positivo, e que limites de funções racionais podem ser obtidos por substituição direta quando o denominador não zera.

Passo 2

Calculamos primeiro o limite do argumento racional:
\lim_{x\to1}\frac{5 - x^{2}}{1 + x} =\frac{5 - 1^{2}}{1 + 1} =\frac{4}{2} =2.
Note que o resultado é estritamente positivo, logo podemos aplicar a continuidade do logaritmo.

Passo 3

Pela continuidade de \ln em 2, temos
\lim_{x\to1}\ln\!\Bigl(\frac{5 - x^{2}}{1 + x}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\lim_{x\to1}\frac{5 - x^{2}}{1 + x}\Bigr) =\ln(2).

Resposta

\ln(2)

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