1. \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to0^+}\ln\bigl(\sin x\bigr).
O conteúdo principal aqui é limite de função composta e o comportamento do logaritmo quando o argumento tende a zero.

Passo 2

Observação sobre domínio e comportamento da seno: para x\in(0,\pi) vale \sin x>0, então \ln(\sin x) está bem definida nesse intervalo. Além disso, quando x\to0^+, temos
\sin x \;\longrightarrow\; 0^+.

Passo 3

Usamos o resultado clássico de limite do logaritmo:
\lim_{t\to0^+}\ln t \;=\; -\infty.
Fazendo a troca t=\sin x, que também tende a 0^+ quando x\to0^+, pela regra de composição de limites obtemos
\lim_{x\to0^+}\ln\bigl(\sin x\bigr) =\lim_{t\to0^+}\ln t =-\infty.

Resposta

-\infty

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