1. \lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{+}} \frac{1}{x} \operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede o limite unilateral
\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\frac{1}{x}\operatorname{sec} x.
O conteúdo envolvido é análise de limite infinito em ponto de descontinuidade (aqui \cos x=0 em x=\pi/2) e produto de um fator que diverge com outro que converge.

Passo 2

Estudamos primeiro
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}
quando x\to(\pi/2)^{+}. Em x=\pi/2, \cos x=0; ao chegarmos pela direita, \cos x é negativo e tende a zero, logo
\operatorname{sec} x \;\longrightarrow\; -\infty.

Passo 3

O outro fator \tfrac{1}{x} tende a um valor finito:
\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\frac{1}{x}=\frac{2}{\pi}.
Multiplicando algo que converge a \tfrac{2}{\pi}>0 pelo que diverge a -\infty, o produto diverge a -\infty.

Resposta

\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\frac{1}{x}\operatorname{sec} x = -\infty.

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