Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
Pergunta clara: qual é o valor numérico desse limite quando
se aproxima de
pela direita?
Passo 2
Identificar a forma indeterminada. Quando
temos
e
, então a expressão
tem a aparência da forma
, que é indeterminada. Ou seja, não dá para concluir o limite apenas observando os limites da base e do expoente separadamente — precisamos de um método para tratar essa forma.
Passo 3
Método escolhido: fazer a transformação logarítmica. Isso é muito útil quando a variável aparece como expoente. Seja
Como a função exponencial é contínua, podemos estudar o limite de
e depois aplicar a exponencial para voltar. Tomando logaritmo natural:
Logo basta calcular
Se esse limite for
, então o limite original será
.
Passo 4
Analisar
. Escrevemos
Aqui usamos a propriedade dos logaritmos
aplicando
e
. Agora precisamos do comportamento de
quando
. O limite clássico é
Uma justificativa rápida: pela expansão em série de Taylor,
, daí
. (Também existe prova geométrica por desigualdades, mas essa expansão é a forma mais direta.)
Portanto
. Assim, quando
,
onde
significa uma quantidade que tende a
.
Passo 5
Agora multiplica-se por
:
Como
é uma quantidade que tende a
e
, temos
. Resta então estudar
Para esse limite usamos l’Hôpital. Reescrevemos
Quando
, o numerador tende a
e o denominador a
, situação
em que podemos aplicar l’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a
obtemos
Logo
Combinando com o termo
, concluímos que
Passo 6
Voltando à variável original
: temos
. Como a função exponencial é contínua,
Portanto o limite pedido é
.
Resposta
1