\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{sen} x)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}}(\operatorname{sen} x)^{x}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
\text{a função considerada é }(\operatorname{sen} x)^{x},\quad\text{e a variável }x\to 0^{+}.çãéá
Pergunta clara: qual é o valor numérico desse limite quando x se aproxima de 0 pela direita?

Passo 2

Identificar a forma indeterminada. Quando x\to 0^{+} temos \operatorname{sen} x\to 0 e x\to 0, então a expressão (\operatorname{sen} x)^{x} tem a aparência da forma 0^{0}, que é indeterminada. Ou seja, não dá para concluir o limite apenas observando os limites da base e do expoente separadamente — precisamos de um método para tratar essa forma.

Passo 3

Método escolhido: fazer a transformação logarítmica. Isso é muito útil quando a variável aparece como expoente. Seja
y=(\operatorname{sen} x)^{x}.
Como a função exponencial é contínua, podemos estudar o limite de \ln y e depois aplicar a exponencial para voltar. Tomando logaritmo natural:
\ln y = x\ln(\operatorname{sen} x).
Logo basta calcular
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln(\operatorname{sen} x).
Se esse limite for L, então o limite original será e^{L}.

Passo 4

Analisar \ln(\operatorname{sen} x). Escrevemos
\ln(\operatorname{sen} x)=\ln x + \ln\!\Big(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\Big).
Aqui usamos a propriedade dos logaritmos \ln(ab)=\ln a+\ln b aplicando a=x e b=\operatorname{sen} x/x. Agora precisamos do comportamento de \frac{\operatorname{sen} x}{x} quando x\to 0. O limite clássico é
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Uma justificativa rápida: pela expansão em série de Taylor, \operatorname{sen} x = x - \tfrac{x^{3}}{6}+o(x^{3}), daí \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1-\tfrac{x^{2}}{6}+o(x^{2})\to 1. (Também existe prova geométrica por desigualdades, mas essa expansão é a forma mais direta.)
Portanto \ln\!\Big(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\Big)\to \ln 1 = 0. Assim, quando x\to 0^{+},
\ln(\operatorname{sen} x)=\ln x + o(1),
onde o(1) significa uma quantidade que tende a 0.

Passo 5

Agora multiplica-se por x:
x\ln(\operatorname{sen} x) = x\ln x + x\cdot o(1).
Como o(1) é uma quantidade que tende a 0 e x\to 0, temos x\cdot o(1)\to 0. Resta então estudar
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x.
Para esse limite usamos l’Hôpital. Reescrevemos
x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}.
Quando x\to 0^{+}, o numerador tende a -\infty e o denominador a +\infty, situação -\infty/+\infty em que podemos aplicar l’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a x obtemos
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^{2}} = \lim_{x\to 0^{+}} -x = 0.
Logo
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x = 0.
Combinando com o termo x\cdot o(1)\to 0, concluímos que
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln(\operatorname{sen} x) = 0.

Passo 6

Voltando à variável original y: temos \lim_{x\to 0^{+}} \ln y = 0. Como a função exponencial é contínua,
\lim_{x\to 0^{+}} y = \lim_{x\to 0^{+}} e^{\ln y} = e^{0} = 1.
Portanto o limite pedido é 1.

Resposta

1

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