(Valor: 5,0) (Vunesp - adaptada) Uma norma de segurança sugerida pela concessionária de uma autoestrada recomenda que os motoristas que nela trafegam mantenham seus veículos separados por uma “distância” de 2,0 segundos.
a) Qual é essa distância, expressa adequadamente em metros, para veículos que percorrem a estrada com a velocidade constante de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?
b) Suponha que, nessas condições, um motorista freie bruscamente seu veículo até parar, com aceleração constante de módulo 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e o motorista de trás só reaja, freando seu veículo, depois de 1,50 \mathrm{~s}. Qual deve ser a aceleração mínima do veículo de trás para não colidir com o da frente?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados que vamos usar. Perguntas:
(a) Qual é a “distância de 2,0 segundos” expressa em metros para veículos que vão a 90\\ \mathrm{km/h} ?
(b) Supondo que, nas condições do item (a), o veículo da frente freie bruscamente com desaceleração de módulo 5,0\\ \mathrm{m/s^{2}} até parar, e o veículo de trás só começa a frear 1,50\\ \mathrm{s} depois, qual é a aceleração mínima (módulo) do veículo de trás para não colidir com o da frente?
Informações dadas (vou nomeá-las para usarmos depois):
v_0 = 90\\ \mathrm{km/h},
\text{tempo de separação sugerido } = 2,0\\ \mathrm{s},çã
a_1 = 5,0\\ \mathrm{m/s^{2}}\quad(\text{módulo da desaceleração do veículo da frente}),óçãí
t_{\text{reação}} = 1,50\\ \mathrm{s}.çã
Além disso, a distância inicial entre os veículos será a que encontrarmos no item (a).
(Não resolvo nada aqui; só listei o que o problema pede e os dados.)

Passo 2

Resolvendo (a): primeiro precisamos transformar a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A fórmula de conversão é
v_{\text{(m/s)}} = v_{\text{(km/h)}}\times\frac{1000}{3600} = v_{\text{(km/h)}}\times\frac{1}{3{,}6}.
Aplicando a v_0=90\\ \mathrm{km/h}:
v_0 = 90\times\frac{1}{3{,}6} = 25\\ \mathrm{m/s}.
A “distância de 2,0 segundos” é simplesmente velocidade vezes tempo (movimento retilíneo uniforme durante esses 2,0 s), ou seja,
s = v_0 \cdot t = 25\\ \mathrm{m/s}\times 2{,}0\\ \mathrm{s} = 50\\ \mathrm{m}.
Explicação curta do conceito usado: distância = velocidade × tempo é a relação básica do movimento uniforme; aqui interpretamos a regra “2,0 segundos” como manter uma separação tal que, ao andar a velocidade dada, se leve 2,0 s para percorrer a distância entre os veículos.

Passo 3

Começamos o item (b) organizando o que cada veículo faz e as fórmulas que vamos usar. Definições e fórmulas úteis (explicadas):
  • v_0 é a velocidade inicial de ambos os veículos no instante em que o da frente começa a frear. Já calculamos v_0=25\\ \mathrm{m/s}.
  • Para movimento com aceleração constante, as fórmulas básicas são: v = v_0 + a t
\Delta s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
e a relação que liga velocidade e deslocamento sem precisar do tempo:
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta s.
  • Para calcular uma distância de frenagem até parar (velocidade final v=0) com desaceleração constante a (com a>0 sendo o módulo), usamos a última fórmula isolando \Delta s: 0 = v_0^2 - 2 a \Delta s \quad\Rightarrow\quad \Delta s = \frac{v_0^2}{2 a}.
Aqui, a será a_1 para o veículo da frente e a_2 (desconhecido) para o veículo de trás.

Passo 4

Calcule a distância total que o veículo da frente percorre desde o início da frenagem até parar. Usando a fórmula de distância de frenagem:
\Delta s_{\text{frente}} = \frac{v_0^2}{2 a_1}.
Substituindo v_0=25\\ \mathrm{m/s} e a_1=5{,}0\\ \mathrm{m/s^2}:
\Delta s_{\text{frente}} = \frac{25^2}{2\times 5{,}0} = \frac{625}{10} = 62{,}5\\ \mathrm{m}.
Também é útil saber que, durante o tempo de reação t_{\text{reação}}=1{,}50\\ \mathrm{s}çã, o veículo da frente já está freando; sua distância percorrida nesse intervalo é dada por
\Delta s_{\text{frente, reação}} = v_0 t_{\text{reação}} - \tfrac{1}{2}a_1 t_{\text{reação}}^2.çãçãçã
Calculando numericamente:
\Delta s_{\text{frente, reação}} = 25\times 1{,}5 - \tfrac{1}{2}\times 5{,}0 \times (1{,}5)^2 = 37{,}5 - 5{,}625 = 31{,}875\\ \mathrm{m}.çã
(Como checagem, a parte restante até a parada é 62{,}5-31{,}875=30{,}625\\ \mathrm{m}.)

Passo 5

Calcule a distância que o veículo de trás percorre desde o instante em que o da frente começa a frear até que o de trás pare, em função de a_2.
  • Durante o tempo de reação t_{\text{reação}}çã o veículo de trás mantém velocidade v_0, então percorre
\Delta s_{\text{trás, reação}} = v_0 t_{\text{reação}} = 25\times 1{,}5 = 37{,}5\\ \mathrm{m}.áçãçã
  • Depois da reação, o veículo de trás freia com desaceleração de módulo a_2 até parar; a distância de frenagem é
\Delta s_{\text{trás, frenagem}} = \frac{v_0^2}{2 a_2} = \frac{625}{2 a_2}.á
  • Portanto a distância total percorrida pelo veículo de trás desde t=0 até parar é
\Delta s_{\text{trás, total}} = 37{,}5 + \frac{625}{2 a_2}.á

Passo 6

Agora escrevemos a condição “não colidir”: a posição final do veículo de trás não pode ultrapassar a posição final do veículo da frente. Em termos de deslocamentos e da folga inicial s_0 (obtida no item (a), s_0=50\\ \mathrm{m}):
s_0 + \Delta s_{\text{frente}} \ge \Delta s_{\text{trás, total}}.á
Substituindo os valores numéricos:
50 + 62{,}5 \ge 37{,}5 + \frac{625}{2 a_2}.
Calcule o lado esquerdo e reorganize:
112{,}5 \ge 37{,}5 + \frac{625}{2 a_2}
112{,}5 - 37{,}5 \ge \frac{625}{2 a_2}
75 \ge \frac{625}{2 a_2}.

Passo 7

Resolva a desigualdade para a_2. Multiplicando ambos os lados por 2 a_2 (positivo) e dividindo por 75:
625 \le 150 a_2 \quad\Rightarrow\quad a_2 \ge \frac{625}{150}.
Simplificando a fração:
\frac{625}{150} = \frac{125}{30} = \frac{25}{6} \approx 4{,}1666\ldots
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (e usando vírgula como separador decimal):
a_2 \ge 4{,}17\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: o módulo da desaceleração do veículo de trás deve ser pelo menos 4{,}17\\ \mathrm{m/s^{2}} para evitar colisão, dado o tempo de reação de 1{,}50\\ \mathrm{s} e a folga inicial de 50\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 50\\ \mathrm{m}
(b) 4{,}17\\ \mathrm{m/s^{2}}

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