\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}}.
O conteúdo é cálculo de limite no infinito envolvendo termos de maior ordem em polinômio e raiz quadrada.

Passo 2

Para identificar o comportamento dominante, fatoramos x no numerador e dentro da raiz no denominador:
\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x\bigl(2 + \tfrac{1}{x}\bigr)}{\sqrt{x^2\bigl(1 + \tfrac{1}{x^2}\bigr)}} = \frac{x\bigl(2 + \tfrac{1}{x}\bigr)}{|x|\sqrt{1 + \tfrac{1}{x^2}}}.
Como estamos tomando x\to+\infty, vale |x|=x.

Passo 3

Substituindo |x|=x e examinando o limite das partes que dependem de 1/x, obtemos
\frac{2 + \tfrac{1}{x}}{\sqrt{1 + \tfrac{1}{x^2}}} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{2+0}{\sqrt{1+0}} = 2.

Resposta

2

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