\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sec} x-1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec} x - 1}{x^2}.
Substituindo x=0 vemos que \sec0-1=0 e o denominador é 0, gerando a indeterminação \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar expansão em série de Taylor em torno de x=0.

Passo 2

Começamos com a série de Taylor de \cos x até a ordem x^2:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4).
Invertendo essa expansão obtemos a de \operatorname{sec} x = 1/\cos x:
\operatorname{sec} x = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4).

Passo 3

Então o numerador vira
\operatorname{sec} x - 1 = \frac{x^2}{2} + O(x^4),
e a fração toda fica
\frac{\operatorname{sec} x - 1}{x^2} = \frac{1}{2} + O(x^2).

Passo 4

Ao fazer x\to0, o termo O(x^2) tende a zero, restando
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sec} x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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