lim x 0 sen^2 x-cotg(x)x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites e desenvolvimento em séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar conhecer as expansões de e em série de Potências e entender como manipular expressões envolvendo essas funções próximas de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das expansões de sin(x) = x - x^36 + O(x^5) e cos(x) = 1 - x^22 + O(x^4) para próximo de 0:
Aqui, representa termos de ordem superior a que podemos desprezar quando se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos calcular sin^2(x) = (x - x^36)^2 = x^2 - x^43 + O(x^6) usando a expansão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular cot(x) = cos(x)sin(x) = 1 - x^22x - x^36 = 1x cdot 1 - x^221 - x^26 , que é 1 - x^221 - x^26 approx (1 - x^22)(1 + x^26) = 1 - x^22 + x^26 - x^412 :
1 - x^23 + O(x^4)
Usando a expansão cot(x) approx 1x(1 - x^23) = 1x - x3 para pequeno:
Simplificando:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos substituir sin^2 x - cot(x)x^2 = (x^2 - x^43) - (1x - x3)x^2 e x^2 - x^43 - 1x + x3 na expressão original:
x^2x^2 - x^43x^2 - 1x cdot x^2 + x3x^2 = 1 - x^23 - 1x^3 + 13x
Simplificando o numerador:
Dividindo cada termo por :

Passo 6

Observamos que, para cot(x) approx 1x - x3 - x^345 próximo de 0, os termos sin^2 x - cot(x)x^2 = (x^2 - x^43) - (1x - x3 - x^345)x^2 e x^2 - x^43 - 1x + x3 + x^345 tendem ao infinito, o que sugere que precisamos refinar nossa abordagem. Vamos reconsiderar a expansão de x^2x^2 - x^43x^2 - 1x cdot x^2 + x3x^2 + x^345x^2 = 1 - x^23 - 1x^3 + 13x + x45 até termos de :
Substituindo novamente na expressão original:
Simplificando o numerador:
Dividindo por :
Ainda assim, os termos negativos dominam quando se aproxima de 0, indicando que o limite tende a .

Resposta

O limite quando se aproxima de 0 de é .

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