Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre limites e desenvolvimento em séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar conhecer as expansões de
e
em série de Potências e entender como manipular expressões envolvendo essas funções próximas de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das expansões de
e
para
próximo de 0:
Aqui,
representa termos de ordem superior a
que podemos desprezar quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos calcular
usando a expansão de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é
:
Usando a expansão
para
pequeno:
Simplificando:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na expressão original:
Simplificando o numerador:
Dividindo cada termo por
:
Passo 6
Observamos que, para
próximo de 0, os termos
e
tendem ao infinito, o que sugere que precisamos refinar nossa abordagem. Vamos reconsiderar a expansão de
até termos de
:
Substituindo novamente na expressão original:
Simplificando o numerador:
Dividindo por
:
Ainda assim, os termos negativos dominam quando
se aproxima de 0, indicando que o limite tende a
.
Resposta
O limite quando
se aproxima de 0 de
é
.