O limite lim x 1 |x-1|x^2-1 :
a) Existe e é um número positivo.
b) Não existe, pois limite lim x 1 x^2-1=0.
c) Existe e é um número menor ou igual a zero.
d) Não existe, pois é uma indeterminação do tipo 00.
e) Não existe, pois os limites laterais são distintos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1 |x-1|x^2-1. Isso envolve o conteúdo de limites laterais e a definição de valor absoluto, pois ao aproximar x de 1 precisamos ver os casos x>1 e x<1.

Passo 2

Para resolver, lembramos que |x-1| se escreve em duas fórmulas: se x>1 então |x-1|=x-1, e se x<1 então |x-1|=1-x. Vemos também que x^2-1=(x-1)(x+1).

Passo 3

Calculando o limite pela direita ( xto1^+):
|x-1|x^2-1 = x-1(x-1)(x+1) = 1x+1
Assim,
limxto1^+ |x-1|x^2-1 = 11+1 = tfrac12
Calculando o limite pela esquerda ( xto1^-):
|x-1|x^2-1 = 1-x(x-1)(x+1) = -x-1(x-1)(x+1) = -1x+1
Logo,
limxto1^- |x-1|x^2-1 = -11+1 = -tfrac12

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes ( +tfrac12 e -tfrac12), o limite limxto1 |x-1|x^2-1 não existe.

Resposta

e) Não existe, pois os limites laterais são distintos.

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