Calcule .

Passo 1

O limite que queremos é limxto0integral0^x^2cos(t^2),dtintegral0^xe^-t^2,dt. O conteúdo principal envolve limites de quocientes e o Teorema Fundamental do Cálculo, além da regra de L’Hôpital quando temos forma 0/0.

Passo 2

Para xto0, tanto integral0^x^2cos(t^2),dt quanto integral0^xe^-t^2,dt tendem a zero, pois a integral de qualquer função contínua de 0 até 0 é zero. Assim, temos a indeterminação 0/0 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em relação a x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
ddxgl(integral0^x^2cos(t^2),dtgr)=2xcos(x^4),
ddxgl(integral0^xe^-t^2,dtgr)=e^-x^2

Passo 4

Pelo L’Hôpital, o limite original vale o limite do quociente das derivadas:
limxto02xcos(x^4)e^-x^2

Passo 5

Como cos(x^4)to1 e e^-x^2to1 quando xto0, o limite fica limxto02x=0.

Resposta

0

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