c) Qual o limite de
quando
tende a
? O limite depende de
?
9. a) Resolva o problema de valor inicial:
b) Qual o intervalo de validade da solução?
c) Qual o limite de
quando
tende
? O limite depende de
?
9. a) Resolva o problema de valor inicial:
c) Qual o limite de
Passo 1
O enunciado é um problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem
com
. Vamos reconhecer que é uma EDO linear homogênea ou separável, obter a solução geral, depois impor a condição inicial, determinar o intervalo onde
e por fim calcular
.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
(supondo
), obtemos a forma
Como é homogênea, podemos separar variáveis escrevendo
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais de
:
Então
e integrando em
:
Logo a solução geral é
onde
.
Passo 4
Aplicando
, note que
, obtemos
Substituindo em
e simplificando o fator
, chega-se a
Passo 5
O denominador
não pode anular-se nem trocar de sinal no intervalo que contém
. Assim o intervalo de validade do PVI é
Passo 6
Para
consideramos o ramo
da mesma forma geral (com constante
arbitrária). Observando que
decai exponencialmente e
decai polinomialmente, temos
Como isso ocorre para qualquer valor da constante
, o limite não depende de
.
Resposta
a)
b) Intervalo de validade:
c) e esse limite independe de
.
b) Intervalo de validade:
c)