c) Qual o limite de y(x) quando x tende a +\infty ? O limite depende de y_{0} ?
9. a) Resolva o problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} (x-9) y^{\prime}+5 x y=0 \\\ y(5)=y_{0} \end{array}\right.
b) Qual o intervalo de validade da solução?
c) Qual o limite de y(x) quando x tende \mathrm{a}+\infty ? O limite depende de y_{0} ?

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial para a equação diferencial de primeira ordem
(x-9)\,y' + 5x\,y = 0,
com y(5)=y_{0}. Vamos reconhecer que é uma EDO linear homogênea ou separável, obter a solução geral, depois impor a condição inicial, determinar o intervalo onde x\neq9 e por fim calcular \lim_{x\to+\infty}y(x).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x-9 (supondo x\neq9), obtemos a forma
y' + \frac{5x}{x-9}\,y = 0.
Como é homogênea, podemos separar variáveis escrevendo
\frac{y'}{y} = -\frac{5x}{x-9}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais de -5x/(x-9):
-\frac{5x}{x-9} = -5 \;-\;\frac{45}{x-9}.
Então
\frac{y'}{y} = -5 \;-\;\frac{45}{x-9},
e integrando em x:
\ln|y| = \int\Bigl(-5 - \tfrac{45}{x-9}\Bigr)\,dx = -5x -45\ln|x-9| + C.
Logo a solução geral é
y(x) = K\,e^{-5x}\,|x-9|^{-45},
onde K=e^{C}.

Passo 4

Aplicando y(5)=y_{0}, note que |5-9|=4, obtemos
y_{0} = K\,e^{-25}\,4^{-45} \quad\Longrightarrow\quad K = y_{0}\,e^{25}\,4^{45}.
Substituindo em y(x) e simplificando o fator 4^{-45}, chega-se a
y(x) = y_{0}\,e^{-5(x-5)}\Bigl(\tfrac{4}{\,x-9\,}\Bigr)^{45}.

Passo 5

O denominador x-9 não pode anular-se nem trocar de sinal no intervalo que contém x=5. Assim o intervalo de validade do PVI é
-\infty < x < 9.

Passo 6

Para x\to+\infty consideramos o ramo x>9 da mesma forma geral (com constante K arbitrária). Observando que e^{-5x} decai exponencialmente e (x-9)^{-45} decai polinomialmente, temos
\lim_{x\to+\infty}y(x) = 0.
Como isso ocorre para qualquer valor da constante K, o limite não depende de y_{0}.

Resposta

a) \displaystyle y(x)=y_{0}\,e^{-5(x-5)}\Bigl(\tfrac{4}{\,x-9\,}\Bigr)^{45}.
b) Intervalo de validade: -\infty < x < 9.
c) \displaystyle \lim_{x\to+\infty}y(x)=0, e esse limite independe de y_{0}.

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