Resolva as equações:
a) y^{\prime}-\frac{4}{x} y=-\frac{2}{x^{3}}.
b) y^{\prime}-\frac{1}{x} y=-x.
c) y^{\prime}-\frac{4}{x} y=-\frac{2}{x^{3}}.
8. a) Resolva o problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+5 x^{4} y=x^{4} \\\ y(0)=y_{0} \end{array}\right.
b) Para quais valores de y_{0} a solução é crescente e para quais valores de y_{0} a solução é decrescente?

Passo 1

O enunciado pede para resolver equações lineares de primeira ordem do tipo
y' + p(x)\,y = q(x)
e em seguida um problema de valor inicial. O método geral é usar o fator integrante
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx},
pois daí
\bigl(\mu(x)\,y(x)\bigr)' = \mu(x)\,q(x)
e a solução geral é
y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\Bigl(\int \mu(x)\,q(x)\,dx + C\Bigr).

Passo 2

Para a equação (a)
y' - \frac{4}{x}\,y = -\frac{2}{x^{3}}
temos p(x)=-\tfrac{4}{x}, logo
\mu(x)=e^{\int -\frac{4}{x}\,dx}=e^{-4\ln|x|}=x^{-4}.
Multiplicando a equação por x^{-4} fica
\bigl(x^{-4}y\bigr)' = -2\,x^{-7}.
Integrando,
x^{-4}y = \int -2\,x^{-7}\,dx = \frac{1}{3}\,x^{-6} + C
e portanto
y(x) = x^{4}\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{-6} + C\Bigr) = \tfrac{1}{3}x^{-2} + C\,x^{4}.

Passo 3

Para a equação (b)
y' - \frac{1}{x}\,y = -\,x
temos p(x)=-\tfrac{1}{x}, logo
\mu(x)=e^{\int -\frac{1}{x}\,dx}=x^{-1}.
Multiplicando,
\bigl(x^{-1}y\bigr)' = -1,
logo
x^{-1}y = \int -1\,dx = -x + C
e
y(x) = x\bigl(-x + C\bigr) = -\,x^{2} + C\,x.

Passo 4

A equação (c) é idêntica à (a), portanto a solução geral repete-se:
y(x) = \tfrac{1}{3}x^{-2} + C\,x^{4}.

Passo 5

Para o problema de valor inicial
\begin{cases} y' + 5\,x^{4}\,y = x^{4},\\\ y(0)=y_{0}, \end{cases}
temos p(x)=5x^{4},
\mu(x)=e^{\int 5x^{4}\,dx}=e^{x^{5}}.
Multiplicando a equação por e^{x^{5}}
\bigl(e^{x^{5}}y\bigr)' = x^{4}\,e^{x^{5}},
e
e^{x^{5}}y = \int x^{4}e^{x^{5}}\,dx = \tfrac{1}{5}e^{x^{5}} + C.
Assim
y(x) = \tfrac{1}{5} + C\,e^{-x^{5}}.
Como y(0)=y_{0}, temos
y_{0} = \tfrac{1}{5} + C \quad\Longrightarrow\quad C = y_{0} - \tfrac{1}{5},
ficando
y(x) = \tfrac{1}{5} + \bigl(y_{0} - \tfrac{1}{5}\bigr)e^{-x^{5}}.

Passo 6

Para estudar onde a solução é crescente ou decrescente, note que da equação original
y' = x^{4}\,(1 - 5\,y).
Como x^{4}\ge0, o sinal de y' é o de 1-5y. Da solução achada vemos que
y(x) \lesseqqgtr \tfrac{1}{5} \quad\Longleftrightarrow\quad y_{0} \lesseqqgtr \tfrac{1}{5},
portanto:
– Se y_{0}<\tfrac{1}{5}, então y(x)<\tfrac{1}{5} para todo x e y'>0, ou seja, y é crescente.
– Se y_{0}>\tfrac{1}{5}, então y(x)>\tfrac{1}{5} e y'<0, ou seja, y é decrescente.
– Se y_{0}=\tfrac{1}{5}, y\equiv\tfrac{1}{5} é constante.

Resposta

(a) \displaystyle y(x)=\tfrac{1}{3}\,x^{-2}+C\,x^{4}.
(b) \displaystyle y(x)=-\,x^{2}+C\,x.
(c) \displaystyle y(x)=\tfrac{1}{3}\,x^{-2}+C\,x^{4}.
8 a) \displaystyle y(x)=\tfrac{1}{5}+\bigl(y_{0}-\tfrac{1}{5}\bigr)e^{-x^{5}}.
8 b) A solução é crescente se y_{0}<\tfrac{1}{5}, decrescente se y_{0}>\tfrac{1}{5} e constante se y_{0}=\tfrac{1}{5}.

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