Limites com expoente fracionário ou negativo

O processo pelo qual determinamos o limite de funçöes racionais é igualmente aplicável a razōes contendo expoentes fracionários ou negativos de x divida o numerador e o denominador pela maior poténcia de x no denominador e continue a partir daí. Encontre o limite para os exercicios 61-66.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{-1}+x^{-1}}{x^{-4}-x^{-3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -1}\frac{x^{-1}+x^{-1}}{x^{-4}-x^{-3}}.
O conteúdo é limites de funções com expoentes negativos. A técnica é dividir numerador e denominador pela maior potência de x no denominador, que é x^{-4}.

Passo 2

Dividindo numerador e denominador por x^{-4}, temos
\frac{x^{-1}+x^{-1}}{x^{-4}-x^{-3}} = \frac{\displaystyle\frac{x^{-1}}{x^{-4}}+\frac{x^{-1}}{x^{-4}}} {\displaystyle\frac{x^{-4}}{x^{-4}}-\frac{x^{-3}}{x^{-4}}}.

Passo 3

Simplificando cada fração:
\frac{x^{-1}}{x^{-4}}=x^{3}, \quad \frac{x^{-3}}{x^{-4}}=x,
logo a expressão passa a ser
\frac{x^{3}+x^{3}}{1-x} =\frac{2x^{3}}{1-x}.

Passo 4

Agora basta substituir x=-1 no resultado:
\lim_{x\to -1}\frac{2x^{3}}{1-x} =\frac{2(-1)^{3}}{1-(-1)} =\frac{-2}{2} =-1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados