Limites com expoente fracionário ou negativo

O processo pelo qual determinamos o limite de funçöes racionais é igualmente aplicável a razōes contendo expoentes fracionários ou negativos de x divida o numerador e o denominador pela maior poténcia de x no denominador e continue a partir daí. Encontre o limite para os exercicios 61-66.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{33}-x^{13}+7}{x^{25}+3 x+\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -1}\frac{2x^{33}-x^{13}+7}{x^{25}+3x+\sqrt{x}}
O conteúdo aqui é limite de função que envolve radical \sqrt{x}, e normalmente resolveríamos dividindo numerador e denominador pela maior potência de x. Antes de aplicar qualquer técnica algébrica, precisamos saber em que ponto a função está definida, pois isso afeta a existência do limite.

Passo 2

Verificamos o domínio da função
f(x)=\frac{2x^{33}-x^{13}+7}{x^{25}+3x+\sqrt{x}}.
O termo \sqrt{x} só está definido no conjunto dos reais quando x\ge 0. Portanto o domínio real de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\}.

Passo 3

Para que o limite \lim_{x\to -1}f(x) exista (no sentido de limite de função real), é preciso que x=-1 seja um ponto de acumulação do domínio de f. Mas como o domínio está restrito a x\ge0, não há valores de x próximos a -1 em que f(x) esteja definida. Logo, não faz sentido falar em limite real quando x\to-1.

Resposta

O limite não existe (a função não está definida em nenhuma vizinhança real de x=-1).

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