Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1000 x}{x^{2}-1}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites de uma função racional quando x tende a mais infinito e a menos infinito. O conteúdo é análise de limites de funções do tipo “polinômio sobre polinômio” e vamos usar o fato de que o grau do denominador é maior que o grau do numerador.

Passo 2

Para estudar
\lim_{x\to\infty}\frac{1000x}{x^{2}-1}
dividimos numerador e denominador por x^{2}. Assim,
\frac{1000x}{x^{2}-1} =\frac{1000x/x^{2}}{(x^{2}-1)/x^{2}} =\frac{1000/x}{1-1/x^{2}}.
Quando x\to\infty, 1000/x\to0 e 1-1/x^{2}\to1. Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{1000x}{x^{2}-1} =\frac{0}{1} =0.

Passo 3

Para estudar
\lim_{x\to-\infty}\frac{1000x}{x^{2}-1}
podemos usar exatamente o mesmo processo de divisão por x^{2}. Obtemos
\frac{1000/x}{1-1/x^{2}},
onde, ao fazermos x\to-\infty, temos de novo 1000/x\to0 e 1-1/x^{2}\to1. Portanto,
\lim_{x\to-\infty}\frac{1000x}{x^{2}-1} =0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1000x}{x^{2}-1}=0 \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1000x}{x^{2}-1}=0

Exercícios relacionados