Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{10+x \sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{10 + x\sqrt{x}}
ou seja, é um problema de limites no infinito em que temos uma função racional com potências de x. Vamos comparar as ordens de magnitude de numerador e denominador para determinar o comportamento quando x\to\infty.

Passo 2

Repare que \sqrt{x}=x^{1/2}, então
10 + x\sqrt{x} = 10 + x\cdot x^{1/2} = 10 + x^{3/2}.
Para destacar o termo dominante, fatoramos x^{3/2} no denominador:
\frac{x^{2}}{10 + x^{3/2}} = \frac{x^{2}}{x^{3/2}\bigl(1 + 10\,x^{-3/2}\bigr)}.

Passo 3

No numerador x^{2}=x^{3/2}\cdot x^{1/2}. Logo
\frac{x^{2}}{x^{3/2}\bigl(1 + 10\,x^{-3/2}\bigr)} = \frac{x^{3/2}\,x^{1/2}}{x^{3/2}\bigl(1 + 10\,x^{-3/2}\bigr)} = \frac{x^{1/2}}{1 + 10\,x^{-3/2}}.
Ao fazermos x\to\infty, temos x^{1/2}\to\infty e 10\,x^{-3/2}\to0, então
\frac{x^{1/2}}{1 + 10\,x^{-3/2}}\;\longrightarrow\;\infty.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{10 + x\sqrt{x}} = +\infty.

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