Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3^{x}-3^{-x}}{3^{x}+3^{-x}}\

Passo 1

O enunciado pede os limites da função
f(x) = \frac{3^{x} - 3^{-x}}{3^{x} + 3^{-x}}
quando x\to+\infty e quando x\to-\infty. O conteúdo aqui é limite de exponenciais em infinito, usando a ideia de “domínio” das potências maiores.

Passo 2

Para \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x), note que 3^{x} cresce muito mais rápido que 3^{-x}. Podemos escrever
f(x) = \frac{3^{x}\bigl(1 - 3^{-2x}\bigr)}{3^{x}\bigl(1 + 3^{-2x}\bigr)} = \frac{1 - 3^{-2x}}{1 + 3^{-2x}}.
Como x\to+\infty implica 3^{-2x}\to0, vem
\lim_{x\to+\infty}f(x) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.

Passo 3

Para \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x), agora 3^{-x} domina 3^{x}. Uma forma é dividir numerador e denominador por 3^{-x}:
f(x) = \frac{3^{-x}\bigl(3^{2x} - 1\bigr)}{3^{-x}\bigl(3^{2x} + 1\bigr)} = \frac{3^{2x} - 1}{3^{2x} + 1}.
Quando x\to-\infty, temos 3^{2x}\to0, logo
\lim_{x\to-\infty}f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\frac{3^{x}-3^{-x}}{3^{x}+3^{-x}} = 1,
\lim_{x\to-\infty}\frac{3^{x}-3^{-x}}{3^{x}+3^{-x}} = -1.

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