Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}-3 x-4}{\sqrt{x^{4}+1}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to \infty} \frac{2x^{2} - 3x - 4}{\sqrt{x^{4} + 1}}.
O conteúdo é limites de funções racionais envolvendo radicais. Vamos usar fatoração e comparação de graus de x.

Passo 2

Como x \to +\infty implica x>0, podemos escrever
\sqrt{x^{4}+1} = x^{2}\,\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2}, obtemos
\frac{2x^{2} - 3x - 4}{\sqrt{x^{4} + 1}} = \frac{x^{2}\bigl(2 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}} = \frac{2 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}}.

Passo 4

Ao fazermos x \to +\infty, os termos \tfrac{3}{x}, \tfrac{4}{x^{2}} e \tfrac{1}{x^{4}} tendem a zero. Logo
\lim_{x \to \infty}\frac{2 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{4}}}} = \frac{2 - 0 - 0}{\sqrt{1 + 0}} = 2.

Resposta

2

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