Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2 x+3)^{3}(3 x-2)^{2}}{x^{5}+5}\

Passo 1

O enunciado pede os limites quando x \to +\infty e quando x \to -\infty da função
f(x) \;=\;\frac{(2x+3)^{3}\,(3x-2)^{2}}{x^{5}+5}.
O conteúdo é cálculo de limite de função racional no infinito, e vamos precisar comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Identificamos o termo de maior grau em cada fator do numerador: (2x+3)^{3} = (2x)^{3} + \text{termos de grau menor} = 8\,x^{3} + \dots (3x-2)^{2} = (3x)^{2} + \text{termos de grau menor} = 9\,x^{2} + \dots
Multiplicando esses principais termos, o numerador comporta-se como
(2x+3)^{3}\,(3x-2)^{2} \sim 8\,x^{3} \times 9\,x^{2} = 72\,x^{5}.
O denominador é
x^{5}+5 \sim x^{5}.

Passo 3

Para ver o comportamento no infinito, dividimos numerador e denominador por x^{5}:
f(x) = \frac{72\,x^{5} + \text{(termos de grau}<5)}{x^{5} + 5} = \frac{x^{5}\!\bigl(72 + o(1)\bigr)}{x^{5}\!\bigl(1 + 5/x^{5}\bigr)} = \frac{72 + o(1)}{1 + o(1)}.
Aqui o(1)\to0 quando |x|\to\infty.

Passo 4

Portanto, tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty, obtemos
\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \frac{72 + 0}{1 + 0} = 72.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{(2x+3)^{3}(3x-2)^{2}}{x^{5}+5}=72 \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{(2x+3)^{3}(3x-2)^{2}}{x^{5}+5}=72

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