Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 \sqrt{x}+3 \sqrt[3]{x}+5 \sqrt[5]{x}}{\sqrt{3 x-2}+\sqrt[3]{2 x-3}}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}+5\sqrt[5]{x}}{\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{2x-3}}
Estamos em “Limites no infinito” e a técnica é identificar o termo de maior ordem de grandeza em numerador e denominador e fatorá-lo.

Passo 2

Note que, para x\to\infty, \sqrt{x}=x^{1/2}, \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, \sqrt[5]{x}=x^{1/5}.
O maior expoente é 1/2, ou seja, \sqrt{x}. Vamos fatorar esse termo em cima e embaixo.

Passo 3

Fatorando \sqrt{x} no numerador:
2\sqrt{x}+3x^{1/3}+5x^{1/5} =\sqrt{x}\Bigl(2+3x^{1/3-1/2}+5x^{1/5-1/2}\Bigr) =\sqrt{x}\Bigl(2+3x^{-1/6}+5x^{-3/10}\Bigr).
No denominador:
\sqrt{3x-2}=\sqrt{x}\,\sqrt{3-\tfrac{2}{x}}, \quad \sqrt[3]{2x-3}=x^{1/3}(2-\tfrac{3}{x})^{1/3} =\sqrt{x}\;x^{-1/6}(2-\tfrac{3}{x})^{1/3}.
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\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{2x-3} =\sqrt{x}\Bigl(\sqrt{3-\tfrac{2}{x}}+x^{-1/6}(2-\tfrac{3}{x})^{1/3}\Bigr).

Passo 4

Substituindo na fração e cancelando \sqrt{x}:
\frac{2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}+5\sqrt[5]{x}} {\sqrt{3x-2}+\sqrt[3]{2x-3}} =\frac{2+3x^{-1/6}+5x^{-3/10}} {\sqrt{3-\tfrac{2}{x}}+x^{-1/6}(2-\tfrac{3}{x})^{1/3}}.
Agora, quando x\to\infty, temos x^{-1/6}\to0, x^{-3/10}\to0 e \tfrac{2}{x}\to0, \tfrac{3}{x}\to0. Então o quociente tende a
\frac{2+0+0}{\sqrt{3-0}+0} =\frac{2}{\sqrt{3}}.

Resposta

\frac{2}{\sqrt{3}}

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