Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{2}+1}}{x+1}\

Passo 1

O enunciado pede os limites
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+1}}{x+1} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+1}}{x+1}.
O conteúdo aqui é o cálculo de limites no infinito, usando fatoração da maior potência de x no numerador e denominador.

Passo 2

Para x\to+\infty, note que
\sqrt[3]{x^{2}+1} = x^{2/3}\,\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^{2}}} \quad\text{e}\quad x+1 = x\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr).
Então
\frac{\sqrt[3]{x^{2}+1}}{x+1} = \frac{x^{2/3}\,\sqrt[3]{1+\tfrac{1}{x^{2}}}}{x\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)} = x^{-1/3}\,\frac{\sqrt[3]{1+\tfrac{1}{x^{2}}}}{1+\tfrac{1}{x}}.
Quando x\to+\infty, temos x^{-1/3}\to0 e \sqrt[3]{1+1/x^{2}}\to1, 1+1/x\to1. Portanto o produto tende a
0\cdot\frac{1}{1}=0.

Passo 3

Para x\to-\infty, escrevemos \sqrt[3]{x^{2}+1} = |x|^{2/3}\sqrt[3]{1+1/x^{2}}, mas como x<0 vale |x|=-x. Assim
\frac{\sqrt[3]{x^{2}+1}}{x+1} = \frac{(-x)^{2/3}\,\sqrt[3]{1+\tfrac{1}{x^{2}}}}{x\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)} = \frac{|x|^{2/3}}{x}\,\frac{\sqrt[3]{1+\tfrac{1}{x^{2}}}}{1+\tfrac{1}{x}} = -|x|^{-1/3}\,\frac{\sqrt[3]{1+\tfrac{1}{x^{2}}}}{1+\tfrac{1}{x}}.
Como |x|\to\infty, tem-se |x|^{-1/3}\to0 e o quociente dos radicais tende a 1. Logo o limite é
-0\cdot1 = 0.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+1}}{x+1}=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{2}+1}}{x+1}=0.

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