Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\sqrt[3]{x^{3}+10}}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt[3]{x^{3}+10}}.
O conteúdo envolvido é limite no infinito e manipulação algébrica de raízes.

Passo 2

Reescrevemos o denominador usando a propriedade \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b}:
\sqrt[3]{x^{3}+10} =\sqrt[3]{x^{3}\Bigl(1+\frac{10}{x^{3}}\Bigr)} =\sqrt[3]{x^{3}}\;\sqrt[3]{1+\frac{10}{x^{3}}}.
Para x>0, tem-se \sqrt[3]{x^{3}}=x. Logo
\frac{x}{\sqrt[3]{x^{3}+10}} =\frac{x}{x\,\sqrt[3]{1+\frac{10}{x^{3}}}} =\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{10}{x^{3}}}}.

Passo 3

Ao fazermos x\to\infty, o termo \tfrac{10}{x^{3}}\to0. Assim
\sqrt[3]{1+\frac{10}{x^{3}}}\;\longrightarrow\;\sqrt[3]{1}=1,
e portanto
\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{10}{x^{3}}}}\;\longrightarrow\;1.

Resposta

1

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