Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x+a}-\sqrt{x})\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\bigr),
onde a é constante real. O conteúdo principal aqui é limites na forma “ \infty-\infty”, que resolvemos usando racionalização (multiplicando pelo conjugado). Note que a expressão só faz sentido para x suficientemente grande, de modo que x\ge-\min\{0,a\}; portanto não há limite para x\to-\infty.

Passo 2

Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
\sqrt{x+a}-\sqrt{x} =\frac{\bigl(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{x+a}+\sqrt{x}\bigr)}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}} =\frac{(x+a)-x}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}} =\frac{a}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}.

Passo 3

Agora, à medida que x\to\infty, temos \sqrt{x+a}+\sqrt{x}\sim2\sqrt{x}\to\infty. Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{a}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{a}{2\sqrt{x}}=0.

Resposta

0

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