Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{9 x^{2}+1}-3 x\right)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{9x^{2}+1}-3x\bigr) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}\bigl(\sqrt{9x^{2}+1}-3x\bigr).
O conteúdo aqui é limite no infinito de expressão com raiz quadrada. Vamos usar o truque da racionalização para simplificar a diferença.

Passo 2

Racionalizamos a expressão:
\sqrt{9x^{2}+1}-3x = \frac{\bigl(\sqrt{9x^{2}+1}-3x\bigr)\bigl(\sqrt{9x^{2}+1}+3x\bigr)}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x} = \frac{9x^{2}+1-9x^{2}}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x} = \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x}.

Passo 3

Para x\to\infty, temos x>0 e \sqrt{9x^{2}+1}\sim3x, logo o denominador \sqrt{9x^{2}+1}+3x\to\infty. Portanto,
\lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{9x^{2}+1}-3x\bigr) = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{9x^{2}+1}+3x} =0.

Passo 4

Para x\to-\infty, temos x<0 e \sqrt{9x^{2}+1}\sim-3x. Então
\sqrt{9x^{2}+1}+3x\sim -3x+3x \to0^{+},
e o quociente \tfrac1{\sqrt{9x^{2}+1}+3x} tende a +\infty. Assim,
\lim_{x\to-\infty}\bigl(\sqrt{9x^{2}+1}-3x\bigr)=+\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(\sqrt{9x^{2}+1}-3x\bigr)=0 \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\bigl(\sqrt{9x^{2}+1}-3x\bigr)=+\infty

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