Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1-2 x}{\sqrt[3]{1+8 x^{3}}}+2^{-x^{2}}\right)\

Passo 1

O enunciado pede os limites da função
f(x)=\frac{1-2x}{\sqrt[3]{1+8x^{3}}}+2^{-x^{2}}
quando x\to+\infty e quando x\to-\infty. O conteúdo envolvido é análise de limites no infinito, usando fatoração assintótica e propriedades de radicais e exponenciais.

Passo 2

Separamos f(x) em dois termos:
f_1(x)=\frac{1-2x}{\sqrt[3]{1+8x^{3}}} \quad\text{e}\quad f_2(x)=2^{-x^{2}}.
Vamos primeiro calcular \lim_{x\to+\infty}f_1(x).

Passo 3

Em f_1(x), fatoramos x no numerador e x^3 dentro da raiz:
1-2x = x\Bigl(\tfrac1x - 2\Bigr), \qquad 1+8x^3 = x^3\Bigl(8 + \tfrac1{x^3}\Bigr).
Logo,
f_1(x) = \frac{x\bigl(\tfrac1x -2\bigr)}{\sqrt[3]{\,x^3\bigl(8+\tfrac1{x^3}\bigr)\,}} = \frac{x\bigl(\tfrac1x -2\bigr)}{x\;\sqrt[3]{8+\tfrac1{x^3}}} = \frac{\tfrac1x -2}{\sqrt[3]{8+\tfrac1{x^3}}}\,.

Passo 4

Quando x\to+\infty, temos \tfrac1x\to0 e \sqrt[3]{8+\tfrac1{x^3}}\to\sqrt[3]{8}=2. Portanto,
\lim_{x\to+\infty}f_1(x) = \frac{0 - 2}{2} = -1.

Passo 5

Agora,
f_2(x)=2^{-x^2}=e^{-x^2\ln2}.
Como x^2\to+\infty, o expoente -x^2\ln2 vai a -\infty, logo
\lim_{x\to+\infty}f_2(x)=0.

Passo 6

Pela soma de limites,
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}f_1(x)+\lim_{x\to+\infty}f_2(x) =-1+0 =-1.

Passo 7

Para x\to-\infty, repetimos o mesmo raciocínio em f_1(x). Note que para x<0 real vale \sqrt[3]{x^3}=x. Assim, a fatoração e o limite ficam idênticos e levam a
\lim_{x\to-\infty}f_1(x)=-1, \qquad \lim_{x\to-\infty}f_2(x)=0.

Passo 8

Concluímos que
\lim_{x\to+\infty}f(x)=-1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1.

Resposta

\displaystyle -1 e -1

Exercícios relacionados