Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-5 x+6}-x\right)\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x\to\infty de \sqrt{x^{2}-5x+6}-x.
Esse tipo de limite gera a indeterminação \infty-\infty. Vamos usar a técnica do conjugado para resolver.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos por \sqrt{x^{2}-5x+6}+x, obtendo
\sqrt{x^{2}-5x+6}-x = \frac{(\sqrt{x^{2}-5x+6}-x)(\sqrt{x^{2}-5x+6}+x)} {\sqrt{x^{2}-5x+6}+x} = \frac{x^{2}-5x+6 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x} = \frac{-5x+6}{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x}.

Passo 3

No denominador fatoramos x em evidência:
\sqrt{x^{2}-5x+6}+x = x\Bigl(\sqrt{1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}}\;+\;1\Bigr).
Assim a expressão vira
\frac{-5x+6}{\sqrt{x^{2}-5x+6}+x} = \frac{-5x+6}{\,x\bigl(\sqrt{1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}}+1\bigr)} = \frac{-5 + \tfrac{6}{x}}{\sqrt{1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}}+1}.

Passo 4

Quando x\to\infty temos \tfrac{6}{x}\to0 e \sqrt{1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}}\to1.
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\lim_{x\to\infty} \frac{-5 + \tfrac{6}{x}}{\sqrt{1 - \tfrac{5}{x} + \tfrac{6}{x^{2}}}+1} = \frac{-5}{1+1} = -\tfrac{5}{2}.

Resposta

-\tfrac{5}{2}

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