Limites quando x \rightarrow \pm \infty
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{3}}{3 x^{2}-4}-\frac{x^{2}}{3 x+2}\right)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x^{3}}{3x^{2}-4}-\frac{x^{2}}{3x+2}\Bigr).
O conteúdo é limite de combinação de funções racionais no infinito. Vamos usar que, para x\to\infty, domina o termo de maior grau em numerador e denominador, e podemos juntar as frações para simplificar.

Passo 2

Juntamos as frações num único quociente:
\frac{x^{3}}{3x^{2}-4}-\frac{x^{2}}{3x+2} = \frac{x^{3}(3x+2)-x^{2}(3x^{2}-4)}{(3x^{2}-4)(3x+2)}.

Passo 3

Simplificamos o numerador e fatoramos potência dominante:
x^{3}(3x+2)-x^{2}(3x^{2}-4) =3x^{4}+2x^{3}-3x^{4}+4x^{2} =2x^{3}+4x^{2} =2x^{2}(x+2).
O denominador, para x\to\infty, comporta-se como
(3x^{2}-4)(3x+2)\sim 9x^{3}.
Logo a fração vale
\frac{2x^{2}(x+2)}{(3x^{2}-4)(3x+2)} \sim \frac{2x^{2}(x+2)}{9x^{3}} = \frac{2}{9}\,\Bigl(1+\frac{2}{x}\Bigr).

Passo 4

Tomando x\to\infty no fator \bigl(1+2/x\bigr), ele tende a 1. Portanto
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{x^{3}}{3x^{2}-4}-\frac{x^{2}}{3x+2}\Bigr) =\frac{2}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{9}

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