Uma linha bifilar, composta de dois condutores circulares iguais com raio
, separados de
, alimenta uma carga resistiva de
. Projetar um transformador de um quarto de onda para casar a linha com a carga em
. Considerar que tanto os condutores quanto o dielétrico da linha são perfeitos (
e
) e não magnéticos (
), tendo o dielétrico
. Utilizar a mesma linha bifilar para construir o transformador, variando apenas a separação
entre os condutores de forma a obter a impedância característica requerida.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede (peguei todos os números do enunciado).
- Dados:
- raio do condutor:
. - separação entre centros dos condutores da linha de alimentação:
. - carga resistiva:
. - frequência de operação:
. - dielétrico:
(ar/vácuo), . - condutores e dielétrico ideais (sem perdas).
- raio do condutor:
- O enunciado pede:
- projetar um transformador de um quarto de onda (
) para casar a linha com a carga em , - usando a mesma linha bifilar (mesmos condutores de raio
), mas podendo variar apenas a separação entre os condutores na seção transformadora, de modo a obter a impedância característica necessária.
- projetar um transformador de um quarto de onda (
- Observação útil para o projeto (a calcular): é preciso conhecer a impedância característica
da linha original ( ), calcular a impedância característica desejada da seção e então escolher a nova separação que dá . Também precisamos do comprimento físico da seção: .
Passo 2
Entender e escrever a fórmula que relaciona geometria da linha bifilar com sua impedância característica. Explicando a física de maneira simples: a impedância característica de uma linha sem perdas é determinada pelas suas per-unit-length capacitância e indutância; para uma linha paralela de dois fios idênticos em ar, existe fórmula conhecida e prática que relaciona exatamente a razão entre a distância entre centros e o raio dos fios com
.
Fórmula usada (líder de uso prático para linha bifilar com dois condutores iguais, dielétrico de permitividade relativa
):
onde:
-
é a impedância característica da linha (em ohms), -
é a distância entre centros dos dois condutores (no problema ), -
é o raio dos condutores, -
é a função inversa do cosseno hiperbólico; equivalentemente .
Breve comentário didático: essa expressão vem da solução analítica para o campo eletrostático entre dois cilindros e da relação entre capacitância por unidade de comprimento e
. Aqui
simplifica bastante.
Passo 3
Calcular a impedância característica da linha original (
). Substituindo na fórmula (usar sempre unidades consistentes: aqui tudo em mm é OK para razões, mas o resultado é em ohms):
Primeiro calcule a razão
Calcule
usando definição logarítmica:
Numérico:
Agora
Interpretação curta: a linha com
tem
bem alto (
) porque fios finos e relativamente afastados geram alta impedância.
Passo 4
Relembrar a teoria do transformador de um quarto de onda e obter a impedância característica necessária
da seção transformadora.
Teorema chave (derivação curta e didática):
- A impedância de entrada de uma linha não dissipativa de impedância característica
, comprimento e terminada por uma impedância é dada por
onde
.
- Para
temos e . Tomando o limite conveniente, a expressão simplifica para
- Para casar a linha de alimentação (impedância
) com a carga usando uma seção devemos ter . Assim
Aplicando aos números:
Comentário amigável: o transformador
tem que ter impedância característica aproximadamente a raiz geométrica entre a impedância da linha e a carga.
Passo 5
Agora vamos usar a fórmula da linha bifilar para encontrar a separação
(aqui chamarei de
) que produz
. A equação a resolver é
Como
, passamos a isolar
:
Portanto
Substituindo os números (lembrando
e
):
Calcule
. Usando a definição
, obtemos numericamente
e então
Conclusão prática: a seção transformadora deve reduzir a separação entre centros dos fios de
para aproximadamente
a fim de obter
.
Passo 6
Calcular o comprimento físico da seção transformadora (
).
- Comprimento de onda no dielétrico (aqui ar/vácuo):
, com .
- Portanto
Então a seção transformadora deverá ter comprimento
.
Passo 7
Verificação rápida (auto-consistência): se a seção de comprimento
tem
, a impedância vista à sua entrada é
que coincide com
. Portanto o casamento teórico está correto.
Comentário prático final (dica para prova): ao construir fisicamente a transição entre a linha original (
) e a seção transformadora (
), haverá descontinuidades de impedância na junção; em teoria ideal (condutores perfeitos, transição ideal) o
realiza o casamento. Em projetos reais recomenda-se transição gradual (taper) ou técnicas de conexão cuidadosas para reduzir reflexões adicionais. Mas para o problema de prova é suficiente determinar
,
e
como fizemos.
Resposta
Separação da seção transformadora
Comprimento da seção transformadora