Uma linha bifilar, composta de dois condutores circulares iguais com raio a=1 \mathrm{~mm}, separados de d=10 \mathrm{~mm}, alimenta uma carga resistiva de 100 \Omega. Projetar um transformador de um quarto de onda para casar a linha com a carga em \mathrm{f}=100 \mathrm{MHz}. Considerar que tanto os condutores quanto o dielétrico da linha são perfeitos ( \sigma_{\mathrm{C}}=\infty e \sigma_{\mathrm{d}}=0 ) e não magnéticos ( \mu_{\mathrm{r}}=1 ), tendo o dielétrico \varepsilon_{\mathrm{r}}=1. Utilizar a mesma linha bifilar para construir o transformador, variando apenas a separação d entre os condutores de forma a obter a impedância característica requerida.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados:
    • raio do condutor: a=1\\ \mathrm{mm}.
    • separação entre centros dos condutores da linha de alimentação: d=10\\ \mathrm{mm}.
    • carga resistiva: R_L=100\\ \Omega.
    • frequência de operação: f=100\\ \mathrm{MHz}.
    • dielétrico: \varepsilon_r=1 (ar/vácuo), \mu_r=1.
    • condutores e dielétrico ideais (sem perdas).
  • O enunciado pede:
    • projetar um transformador de um quarto de onda ( \lambda/4) para casar a linha com a carga em f=100\\ \mathrm{MHz},
    • usando a mesma linha bifilar (mesmos condutores de raio a), mas podendo variar apenas a separação d entre os condutores na seção transformadora, de modo a obter a impedância característica necessária.
  • Observação útil para o projeto (a calcular): é preciso conhecer a impedância característica Z_{0,\text{linha}} da linha original ( d=10\\ \mathrm{mm}), calcular a impedância característica desejada Z_t da seção \lambda/4 e então escolher a nova separação d_t que dá Z_t. Também precisamos do comprimento físico da seção: l=\lambda/4.

Passo 2

Entender e escrever a fórmula que relaciona geometria da linha bifilar com sua impedância característica. Explicando a física de maneira simples: a impedância característica de uma linha sem perdas é determinada pelas suas per-unit-length capacitância e indutância; para uma linha paralela de dois fios idênticos em ar, existe fórmula conhecida e prática que relaciona exatamente a razão entre a distância entre centros e o raio dos fios com Z_0.
Fórmula usada (líder de uso prático para linha bifilar com dois condutores iguais, dielétrico de permitividade relativa \varepsilon_r):
Z_0 \;=\; \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}}\; \operatorname{arccosh}\!\left(\frac{D}{2a}\right),
onde:
  • Z_0 é a impedância característica da linha (em ohms),
  • D é a distância entre centros dos dois condutores (no problema D=d),
  • a é o raio dos condutores,
  • \operatorname{arccosh}(x) é a função inversa do cosseno hiperbólico; equivalentemente \operatorname{arccosh}(x)=\ln\!\big(x+\sqrt{x^2-1}\big).
Breve comentário didático: essa expressão vem da solução analítica para o campo eletrostático entre dois cilindros e da relação entre capacitância por unidade de comprimento e Z_0. Aqui \varepsilon_r=1 simplifica bastante.

Passo 3

Calcular a impedância característica da linha original ( d=10\\ \mathrm{mm}). Substituindo na fórmula (usar sempre unidades consistentes: aqui tudo em mm é OK para razões, mas o resultado é em ohms):
Primeiro calcule a razão
\frac{D}{2a}=\frac{10\\ \mathrm{mm}}{2\cdot 1\\ \mathrm{mm}}=5.
Calcule \operatorname{arccosh}(5) usando definição logarítmica:
\operatorname{arccosh}(5)=\ln\!\big(5+\sqrt{5^2-1}\big)=\ln\!\big(5+\sqrt{24}\big).
Numérico:
\sqrt{24}\approx 4{,}898979486,\qquad 5+\sqrt{24}\approx 9{,}898979486,
\operatorname{arccosh}(5)\approx \ln(9{,}898979486)\approx 2{,}2924328.
Agora
Z_{0,\text{linha}}=\frac{120}{\sqrt{1}}\cdot 2{,}2924328 \approx 275{,}09\\ \Omega.
Interpretação curta: a linha com d=10\\ \mathrm{mm} tem Z_0 bem alto ( \approx275\\ \Omega) porque fios finos e relativamente afastados geram alta impedância.

Passo 4

Relembrar a teoria do transformador de um quarto de onda e obter a impedância característica necessária Z_t da seção transformadora.
Teorema chave (derivação curta e didática):
  • A impedância de entrada de uma linha não dissipativa de impedância característica Z_t, comprimento l e terminada por uma impedância Z_L é dada por
Z_{\text{in}} = Z_t\;\frac{Z_L + j Z_t \tan(\beta l)}{Z_t + j Z_L \tan(\beta l)},
onde \beta=2\pi/\lambda.
  • Para l=\lambda/4 temos \beta l = \pi/2 e \tan(\beta l)\to\infty. Tomando o limite conveniente, a expressão simplifica para
Z_{\text{in}} = \frac{Z_t^2}{Z_L}.
  • Para casar a linha de alimentação (impedância Z_{0,\text{linha}}) com a carga Z_L usando uma seção \lambda/4 devemos ter Z_{\text{in}}=Z_{0,\text{linha}}. Assim
Z_{0,\text{linha}} = \frac{Z_t^2}{Z_L} \qquad\Rightarrow\qquad Z_t = \sqrt{Z_{0,\text{linha}}\;Z_L}.
Aplicando aos números:
Z_t = \sqrt{275{,}09\\ \Omega \times 100\\ \Omega} = \sqrt{27509{,}0}\\ \Omega \approx 165{,}86\\ \Omega.
Comentário amigável: o transformador \lambda/4 tem que ter impedância característica aproximadamente a raiz geométrica entre a impedância da linha e a carga.

Passo 5

Agora vamos usar a fórmula da linha bifilar para encontrar a separação d_t (aqui chamarei de D_t) que produz Z_t. A equação a resolver é
Z_t = \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}}\; \operatorname{arccosh}\!\left(\frac{D_t}{2a}\right).
Como \varepsilon_r=1, passamos a isolar \frac{D_t}{2a}:
\operatorname{arccosh}\!\left(\frac{D_t}{2a}\right)=\frac{Z_t}{120} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{D_t}{2a}=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{Z_t}{120}\right).
Portanto
D_t = 2a\operatorname{cosh}\!\left(\frac{Z_t}{120}\right).
Substituindo os números (lembrando a=1\\ \mathrm{mm} e Z_t\approx165{,}86\\ \Omega):
\frac{Z_t}{120}\approx \frac{165{,}86}{120}\approx 1{,}3822.
Calcule \operatorname{cosh}(1{,}3822). Usando a definição \operatorname{cosh} x=(e^x+e^{-x})/2, obtemos numericamente
\operatorname{cosh}(1{,}3822)\approx 2{,}116\text{ (aprox.)},
e então
D_t = 2\cdot 1\\ \mathrm{mm}\cdot 2{,}116\approx 4{,}23\\ \mathrm{mm}.
Conclusão prática: a seção transformadora deve reduzir a separação entre centros dos fios de 10\\ \mathrm{mm} para aproximadamente 4{,}23\\ \mathrm{mm} a fim de obter Z_t\approx165{,}9\\ \Omega.

Passo 6

Calcular o comprimento físico da seção transformadora ( \lambda/4).
  • Comprimento de onda no dielétrico (aqui ar/vácuo): \lambda = \dfrac{c}{f}, com c\approx 3\times10^8\\ \mathrm{m/s}.
\lambda = \frac{3\times 10^8\\ \mathrm{m/s}}{100\times 10^6\\ \mathrm{Hz}} = 3\\ \mathrm{m}.
  • Portanto
\frac{\lambda}{4} = 0{,}75\\ \mathrm{m} = 75\\ \mathrm{cm}.
Então a seção transformadora deverá ter comprimento l=0{,}75\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida (auto-consistência): se a seção de comprimento \lambda/4 tem Z_t, a impedância vista à sua entrada é
Z_{\text{in}}=\frac{Z_t^2}{R_L}\approx\frac{(165{,}86)^2}{100}\\ \Omega \approx 275{,}09\\ \Omega,
que coincide com Z_{0,\text{linha}}. Portanto o casamento teórico está correto.
Comentário prático final (dica para prova): ao construir fisicamente a transição entre a linha original ( d=10\\ \mathrm{mm}) e a seção transformadora ( d\approx4{,}23\\ \mathrm{mm}), haverá descontinuidades de impedância na junção; em teoria ideal (condutores perfeitos, transição ideal) o \lambda/4 realiza o casamento. Em projetos reais recomenda-se transição gradual (taper) ou técnicas de conexão cuidadosas para reduzir reflexões adicionais. Mas para o problema de prova é suficiente determinar Z_t, D_t e l como fizemos.

Resposta

Z_{0,\text{linha}}\approx 275{,}09\\ \Omega
Z_t=\sqrt{Z_{0,\text{linha}}R_L}\approx 165{,}86\\ \Omega
Separação da seção transformadora d_t=D_t\approx 4{,}23\\ \mathrm{mm} (distância entre centros)
Comprimento da seção transformadora l=\lambda/4=0{,}75\\ \mathrm{m}

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