Uma LT sem perdas tem \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e alimenta uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=60-\mathrm{j} 80 \Omega. Deseja-se casar a linha com a carga usando um toco (stub) em paralelo de comprimento d_{2} localizado a uma distância d_{1} a partir da carga. Sendo \lambda=1 \mathrm{~m} na linha, determinar os menores de valores para d_{1} e d_{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede. Dados fornecidos:
  • Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Z_{L}=60-j\,80\\ \Omega.
  • \lambda=1\\ \mathrm{m} na linha (logo \beta=2\pi/\lambda=2\pi\\ \mathrm{rad/m}).
    Pede-se: determinar os menores valores de d_{1} (distância da carga até o stub, medido ao longo da linha em direção ao gerador) e d_{2} (comprimento do stub) para casar a linha com a carga usando um stub em paralelo.
Observação sobre o stub: o enunciado não especificou se o stub é curto-circuitado ou aberto. Vou escolher o stub curto-circuitado (típico em exercícios) porque a expressão do seu admitância é simples e permite achar facilmente o menor comprimento; o método e os resultados são análogos se o stub fosse aberto (aparece uma troca entre tangente e cotangente). Se for necessário o stub aberto, posso indicar a conversão depois.

Passo 2

Normalizar a carga e calcular sua admitância normalizada (passo padrão em casamento com stub). Primeiro a impedância normalizada:
z_{L}=\frac{Z_{L}}{Z_{0}}=\frac{60-j\,80}{50}=1{,}2-j\,1{,}6.
Agora a admitância normalizada \,y_{L}=1/z_{L}. Calcula-se invertendo o número complexo:
y_{L}=\frac{1{,}2+j\,1{,}6}{(1{,}2)^{2}+(1{,}6)^{2}}=\frac{1{,}2+j\,1{,}6}{1{,}44+2{,}56}=\frac{1{,}2+j\,1{,}6}{4}=0{,}3+j\,0{,}4.
Portanto \,y_{L}=0{,}3+j\,0{,}4 (admitância normalizada em relação a Y_{0}=1/Z_{0}).

Passo 3

Escrever a fórmula de transformação de admitância ao deslocar-se uma distância d a partir da carga (linha sem perdas). Se \beta é a constante de fase e \theta=\beta d, a admitância normalizada no ponto a distância d da carga é
y(d)=\frac{y_{L}\cos\theta + j\sin\theta}{\cos\theta + j\,y_{L}\sin\theta}.
Aqui y_{L} é a admitância normalizada na carga e y(d) é a admitância normalizada no ponto onde estará o stub. Explico: essa fórmula vem da transformação clássica de impedância/admitância em linha sem perdas e está normalizada por Y_{0}.

Passo 4

Condição de casamento com um stub paralelo curto-circuitado: no ponto onde o stub é ligado a linha a admitância total (admitância da linha naquele ponto somada à admitância do stub) deve ser igual a Y_{0} (normalizado: 1+j0). Ou seja, se y(d_{1})=g+j b, precisamos de
g=1
e o stub deve fornecer a admitância imaginária -j b para cancelar a reatância, isto é
y_{\text{stub}} = -j b.
Para um stub curto-circuitado de comprimento d_{2} a admitância normalizada é
y_{\text{stub}} = -j\cot(\beta d_{2}).
Portanto o problema se reduz a: achar o menor d_{1}>0 tal que \Re\{y(d_{1})\}=1; em seguida calcular d_{2} pela condição \cot(\beta d_{2})=b com b=\Im\{y(d_{1})\}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de y(d) com y_{L}=0{,}3+j\,0{,}4. Defina \theta=\beta d. Para facilitar a álgebra coloque:
A=0{,}3\cos\theta,\qquad B=0{,}4\cos\theta+\sin\theta,
C=\cos\theta-0{,}4\sin\theta,\qquad D=0{,}3\sin\theta,
de modo que
y(d)=\frac{A+jB}{C+jD}.
A parte real é
\Re\{y(d)\}=\frac{AC+BD}{C^{2}+D^{2}}.
Calcule AC+BD explicitamente:
AC+BD=0{,}3\cos^{2}\theta-0{,}12\cos\theta\sin\theta +0{,}12\cos\theta\sin\theta +0{,}3\sin^{2}\theta=0{,}3(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=0{,}3.
Logo a condição \Re\{y(d_{1})\}=1 fica
\frac{0{,}3}{C^{2}+D^{2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad C^{2}+D^{2}=0{,}3.
Agora expandir C^{2}+D^{2}:
C^{2}+D^{2}=(\cos\theta-0{,}4\sin\theta)^{2}+(0{,}3\sin\theta)^{2} =\cos^{2}\theta-0{,}8\cos\theta\sin\theta+0{,}25\sin^{2}\theta.
Usando \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta obtemos a equação em \sin2\theta e \cos2\theta. Depois de manipular chega-se a
0{,}75\sin^{2}\theta +0{,}8\sin\theta\cos\theta -0{,}7=0.
Escrevendo em termos de 2\theta (usando \sin^{2}\theta=(1-\cos2\theta)/2 e \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin2\theta) obtemos
1{,}5\cos2\theta -1{,}6\sin2\theta = -1{,}3.
Essa equação pode ser escrita como
R\cos(2\theta-\delta)=-1{,}3,
onde R=\sqrt{1{,}5^{2}+(-1{,}6)^{2}}=\sqrt{4{,}81}=2{,}193\ldots e \delta=\operatorname{atan2}(-1{,}6,\,1{,}5)\approx -0{,}811\\ \mathrm{rad}.
Portanto
\cos(2\theta-\delta) = \frac{-1{,}3}{R}\approx -0{,}5930.
As soluções básicas para 2\theta-\delta são
2\theta-\delta \approx 2{,}206\\ \mathrm{rad}\quad\text{ou}\quad 2\theta-\delta \approx 4{,}077\\ \mathrm{rad},
o que dá
\theta \approx 0{,}6976\\ \mathrm{rad}\quad\text{ou}\quad \theta \approx 1{,}6335\\ \mathrm{rad}.
Como queremos o menor d_{1}>0, escolhemos \theta=0{,}6976\\ \mathrm{rad}. Lembrando \theta=\beta d_{1}=2\pi d_{1}, obtemos
d_{1}=\frac{\theta}{2\pi}\approx\frac{0{,}6976}{2\pi}=0{,}1110\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a parte imaginária b=\Im\{y(d_{1})\} no ponto encontrado (essa parte será cancelada pelo stub). Usando os valores numéricos para \theta=0{,}6976\\ \mathrm{rad} (compute trigonometria e as quantidades A,B,C,D definidas no passo 5) chega-se a
b=\Im\{y(d_{1})\}\approx 1{,}4796.
Assim a admitância normalizada naquele ponto é aproximadamente
y(d_{1})\approx 1 + j\,1{,}4796.

Passo 7

Determinar o comprimento do stub curto-circuitado. Para stub curto-circuitado a admitância normalizada é
y_{\text{stub}}=-j\cot(\beta d_{2}).
Queremos y_{\text{stub}}=-j b, logo
\cot(\beta d_{2})=b\approx 1{,}4796.
Tomando \beta d_{2}=\operatorname{arccot}(b)=\arctan(1/b) (menor ângulo positivo),
\beta d_{2} \approx \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{1{,}4796}\bigr)\approx 0{,}5940\\ \mathrm{rad}.
Como \beta=2\pi, o menor comprimento positivo do stub é
d_{2}=\frac{0{,}5940}{2\pi}\approx 0{,}0946\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Resumo rápido e encorajamento: encontramos os menores valores (positivo menor do primeiro período) para a posição do stub e seu comprimento assumindo stub curto-circuitado. Se o stub fosse aberto, o procedimento é o mesmo, mudando a relação para y_{\text{stub}}=j\tan(\beta d_{2}) e a solução para d_{2} seria diferente (complementar), mas d_{1} seria o mesmo. Boa! Está feito — você consegue usar esse procedimento em outras cargas: normalize, transforme a admitância até achar g=1, e ajuste a reatância com o stub.

Resposta

d_{1}=0,1110\\ \mathrm{m}\n
d_{2}=0,0946\\ \mathrm{m}

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