Uma LT sem perdas tem
e alimenta uma carga
. Deseja-se casar a linha com a carga usando um toco (stub) em paralelo de comprimento
localizado a uma distância
a partir da carga. Sendo
na linha, determinar os menores de valores para
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede. Dados fornecidos:
-
. -
. -
na linha (logo ).
Pede-se: determinar os menores valores de(distância da carga até o stub, medido ao longo da linha em direção ao gerador) e (comprimento do stub) para casar a linha com a carga usando um stub em paralelo.
Observação sobre o stub: o enunciado não especificou se o stub é curto-circuitado ou aberto. Vou escolher o stub curto-circuitado (típico em exercícios) porque a expressão do seu admitância é simples e permite achar facilmente o menor comprimento; o método e os resultados são análogos se o stub fosse aberto (aparece uma troca entre tangente e cotangente). Se for necessário o stub aberto, posso indicar a conversão depois.
Passo 2
Normalizar a carga e calcular sua admitância normalizada (passo padrão em casamento com stub). Primeiro a impedância normalizada:
Agora a admitância normalizada
. Calcula-se invertendo o número complexo:
Portanto
(admitância normalizada em relação a
).
Passo 3
Escrever a fórmula de transformação de admitância ao deslocar-se uma distância
a partir da carga (linha sem perdas). Se
é a constante de fase e
, a admitância normalizada no ponto a distância
da carga é
Aqui
é a admitância normalizada na carga e
é a admitância normalizada no ponto onde estará o stub. Explico: essa fórmula vem da transformação clássica de impedância/admitância em linha sem perdas e está normalizada por
.
Passo 4
Condição de casamento com um stub paralelo curto-circuitado: no ponto onde o stub é ligado a linha a admitância total (admitância da linha naquele ponto somada à admitância do stub) deve ser igual a
(normalizado:
). Ou seja, se
, precisamos de
e o stub deve fornecer a admitância imaginária
para cancelar a reatância, isto é
Para um stub curto-circuitado de comprimento
a admitância normalizada é
Portanto o problema se reduz a: achar o menor
tal que
; em seguida calcular
pela condição
com
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de
com
. Defina
. Para facilitar a álgebra coloque:
de modo que
A parte real é
Calcule
explicitamente:
Logo a condição
fica
Agora expandir
:
Usando
obtemos a equação em
e
. Depois de manipular chega-se a
Escrevendo em termos de
(usando
e
) obtemos
Essa equação pode ser escrita como
onde
e
.
Portanto
Portanto
As soluções básicas para
são
o que dá
Como queremos o menor
, escolhemos
. Lembrando
, obtemos
Passo 6
Calcular a parte imaginária
no ponto encontrado (essa parte será cancelada pelo stub). Usando os valores numéricos para
(compute trigonometria e as quantidades
definidas no passo 5) chega-se a
Assim a admitância normalizada naquele ponto é aproximadamente
Passo 7
Determinar o comprimento do stub curto-circuitado. Para stub curto-circuitado a admitância normalizada é
Queremos
, logo
Tomando
(menor ângulo positivo),
Como
, o menor comprimento positivo do stub é
Passo 8
Resumo rápido e encorajamento: encontramos os menores valores (positivo menor do primeiro período) para a posição do stub e seu comprimento assumindo stub curto-circuitado. Se o stub fosse aberto, o procedimento é o mesmo, mudando a relação para
e a solução para
seria diferente (complementar), mas
seria o mesmo. Boa! Está feito — você consegue usar esse procedimento em outras cargas: normalize, transforme a admitância até achar
, e ajuste a reatância com o stub.