Uma LT de 10 km de comprimento, com \mathrm{Z}_{0}=200+\mathrm{j} 20 \Omega e \gamma=0,05+\mathrm{j} 0,2 \mathrm{~Np} / \mathrm{km} em f =10 \mathrm{kHz} é terminada por uma carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=100+\mathrm{j} 50 \Omega. O gerador é de 20 \angle 0^{\circ} \mathrm{V} com resistência interna de 100 \Omega. Calcular:
a) a corrente, a tensão e a potência na entrada da linha;
b) a corrente, a tensão e a potência na carga;
c) o rendimento (eficiência) da transmissão;
d) a atenuação em dB.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
Dados:
  • comprimento da linha: l=10\\ \text{km}.
  • impedância característica: Z_{0}=200+\mathrm{j}20\\ \Omega.
  • constante de propagação: \gamma=0,05+\mathrm{j}0,2\\ \text{Np/km}.
  • carga na extremidade da linha: Z_{L}=100+\mathrm{j}50\\ \Omega.
  • gerador: V_{g}=20\angle 0^{\circ}\\ \text{V} com resistência interna R_{g}=100\\ \Omega.
O enunciado pede:
a) corrente, tensão e potência na entrada da linha (ou seja, no lado da linha conectado ao gerador);
b) corrente, tensão e potência na carga;
c) rendimento (eficiência) da transmissão;
d) atenuação em dB da linha.
Observações claras que vou usar depois:
  • o produto \gamma l vale \gamma l=(0,05\cdot10)+\mathrm{j}(0,2\cdot10)=0{,}5+\mathrm{j}2 (em Np, rad).
  • fórmula da impedância de entrada de uma linha de transmissão homogênea de comprimento l:
Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L + Z_0 \operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_0 + Z_L \operatorname{tanh}(\gamma l)}.
  • matriz ABCD da linha (útil se precisar relacionar tensões e correntes nas duas extremidades):
\begin{pmatrix}V_1\\\ I_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{cosh}(\gamma l) & Z_0\operatorname{sinh}(\gamma l)\\[4pt] \frac{1}{Z_0}\operatorname{sinh}(\gamma l) & \operatorname{cosh}(\gamma l) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}V_2\\\ I_2\end{pmatrix}.]

Passo 2

Calcular \operatorname{tanh}(\gamma l) para depois usar na fórmula de Z_{\text{in}}.
Primeiro, \gamma l = 0{,}5+\mathrm{j}2.
Fórmulas úteis (para número complexo a+ \mathrm{j}b):
\operatorname{tanh}(a+\mathrm{j}b)=\frac{\operatorname{sinh}(2a)+\mathrm{j}\sin(2b)}{\operatorname{cosh}(2a)+\cos(2b)}.
Vou calcular as funções hiperbólicas e trigonométricas necessárias:
\operatorname{sinh}(1{,}0)=1{,}175201,\qquad \operatorname{cosh}(1{,}0)=1{,}543081,
\sin(4)= -0{,}7568025,\qquad \cos(4)= -0{,}6536436.
Agora aplico a fórmula:
\operatorname{tanh}(0{,}5+\mathrm{j}2) =\frac{1{,}175201 + \mathrm{j}(-0{,}7568025)}{1{,}543081 + (-0{,}6536436)} =\frac{1{,}175201 - \mathrm{j}0{,}7568025}{0{,}8894374}.
Dividindo as partes real e imaginária:
\operatorname{tanh}(\gamma l)\approx 1{,}3217 - \mathrm{j}0{,}8512.

Passo 3

Calcular Z_{\text{in}} usando a fórmula da linha:
Z_{\text{in}}=Z_0\frac{Z_L+Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l)}{Z_0+Z_L\operatorname{tanh}(\gamma l)}.
Primeiro calcule Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l):
Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l)=(200+\mathrm{j}20)(1{,}3217-\mathrm{j}0{,}8512) \approx 281{,}364 - \mathrm{j}143{,}806\\ \Omega.
Então
Z_L+Z_0\operatorname{tanh}(\gamma l)\approx (100+\mathrm{j}50)+(281{,}364-\mathrm{j}143{,}806)=381{,}364-\mathrm{j}93{,}806\\ \Omega.
E
Z_L\operatorname{tanh}(\gamma l)=(100+\mathrm{j}50)(1{,}3217-\mathrm{j}0{,}8512)\approx 174{,}730 - \mathrm{j}19{,}035\\ \Omega,
Z_0+Z_L\operatorname{tanh}(\gamma l)\approx (200+\mathrm{j}20)+(174{,}730-\mathrm{j}19{,}035)=374{,}730+\mathrm{j}0{,}965\\ \Omega.
Agora a divisão complexa \dfrac{381{,}364-\mathrm{j}93{,}806}{374{,}730+\mathrm{j}0{,}965} resulta em aproximadamente
\frac{Z_L+Z_0\operatorname{tanh}}{Z_0+Z_L\operatorname{tanh}}\approx 1{,}0172 - \mathrm{j}0{,}2529.
Multiplicando por Z_0:
Z_{\text{in}}\approx (200+\mathrm{j}20)(1{,}0172-\mathrm{j}0{,}2529)\approx 208{,}50 - \mathrm{j}30{,}24\\ \Omega.
Para referência, módulo e ângulo:
|Z_{\text{in}}|\approx 210{,}6\\ \Omega,\qquad \angle Z_{\text{in}}\approx -8{,}27^{\circ}.

Passo 4

Calcular a corrente que sai do gerador e a tensão na entrada da linha (a tensão na extremidade da linha, ou seja a queda no Z_{\text{in}}).
Circuito visto pelo gerador: R_g em série com Z_{\text{in}}. Assim a corrente do gerador é
I_g=\frac{V_g}{R_g+Z_{\text{in}}} =\frac{20\angle 0^{\circ}}{100 + (208{,}50 - \mathrm{j}30{,}24)} =\frac{20}{308{,}50 - \mathrm{j}30{,}24}.
Fazendo a divisão complexa obtemos
I_g \approx 0{,}06455\angle 5{,}60^{\circ}\\ \text{A}\quad(\text{ou }0{,}06424+\mathrm{j}0{,}00630\\ \text{A}).
A tensão na entrada da linha (tensão sobre Z_{\text{in}}) é
V_{\text{in}} = I_g Z_{\text{in}} \approx (0{,}06424+\mathrm{j}0{,}00630)(208{,}50-\mathrm{j}30{,}24) \approx 13{,}59\angle -2{,}66^{\circ}\\ \text{V}
(ou 13{,}579 - \mathrm{j}0{,}630\\ \text{V}).

Passo 5

Calcular a potência na entrada da linha. A potência complexa absorvida pela linha na entrada é
S_{\text{in}} = V_{\text{in}} I_g^{*}.
Usando V_{\text{in}} e I_g já calculados:
S_{\text{in}}\approx 0{,}868 - \mathrm{j}0{,}126\\ \text{VA}.
Logo a potência ativa absorvida na entrada da linha é
P_{\text{in}}\approx 0{,}868\\ \text{W}.
Verificação rápida: potência fornecida pelo gerador é
P_g=\Re\{V_g I_g^{*}\}=20\cdot 0{,}064242\approx 1{,}2848\\ \text{W},
e a potência dissipada na resistência interna R_g é I_g^{2}R_g\approx 0{,}4168\\ \text{W}. Nota: P_g \approx P_{R_g}+P_{\text{in}} (consistência numérica).

Passo 6

Calcular tensão, corrente e potência na carga. Opções: usar ABCD (inverso) ou simplesmente aplicar I_L=V_L/Z_L. Vou obter V_L e I_L usando a relação inversa da matriz ABCD (é didático e direto).
Calcule \operatorname{cosh}(\gamma l) e \operatorname{sinh}(\gamma l) (fórmulas para a+ \mathrm{j}b):
\operatorname{cosh}(a+\mathrm{j}b)=\operatorname{cosh} a\cos b + \mathrm{j}\operatorname{sinh} a\sin b,
\operatorname{sinh}(a+\mathrm{j}b)=\operatorname{sinh} a\cos b + \mathrm{j}\operatorname{cosh} a\sin b.
Com a=0{,}5, b=2:
\operatorname{cosh}(0{,}5)\approx 1{,}127625,\quad \operatorname{sinh}(0{,}5)\approx 0{,}521095,
\cos 2\approx -0{,}4161468,\quad \sin 2\approx 0{,}9092974.
Portanto
\operatorname{cosh}(\gamma l)\approx -0{,}4695 + \mathrm{j}0{,}4740,
\operatorname{sinh}(\gamma l)\approx -0{,}2169 + \mathrm{j}1{,}0249.
Matriz ABCD dá:
\begin{pmatrix}V_1\\\ I_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B\\[4pt] C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix}V_2\\\ I_2\end{pmatrix},
com A=\operatorname{cosh}(\gamma l), B=Z_0\operatorname{sinh}(\gamma l), C=\dfrac{1}{Z_0}\operatorname{sinh}(\gamma l).
Calcule B e C:
B=Z_0\operatorname{sinh}(\gamma l)\approx (200+\mathrm{j}20)(-0{,}2169+\mathrm{j}1{,}0249)\approx -63{,}878+\mathrm{j}200{,}642,
C=\frac{\operatorname{sinh}(\gamma l)}{Z_0}\approx -5{,}667\times 10^{-4}+\mathrm{j}5{,}178\times 10^{-3}\\ \text{S}.
Para obter V_2 (tensão na carga) e I_2 (corrente de carga) usamos a inversa:
\begin{pmatrix}V_2\\\ I_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & -B\\[4pt] -\,C & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix}V_1\\\ I_1\end{pmatrix},
pois \det=1. Assim
V_L = V_2 = A V_{\text{in}} - B I_g.
Com os valores calculados:
V_L \approx -0{,}710 - \mathrm{j}5{,}757\\ \text{V},
ou em módulo e fase
|V_L|\approx 5{,}81\\ \text{V},\qquad \angle V_L\approx -97{,}1^{\circ}.
A corrente na carga (verificação também por Ohm) é
I_L = \frac{V_L}{Z_L}\approx -0{,}02871 - \mathrm{j}0{,}04322\\ \text{A},
ou
|I_L|\approx 0{,}05189\\ \text{A},\qquad \angle I_L\approx -123{,}3^{\circ}.
Agora a potência absorvida pela carga (potência ativa útil):
fórmula prática (evita sinal de fase confuso):
P_{\text{L}} = |I_L|^2 \Re\{Z_L\}.
Com |I_L|^2\approx (0{,}05189)^2\approx 0{,}002693,
P_{\text{L}}\approx 0{,}002693\cdot 100 \approx 0{,}269\\ \text{W}.
A potência reativa absorvida pela carga (módulo):
Q_{\text{L}} = |I_L|^2 \Im\{Z_L\}\approx 0{,}002693\cdot 50 \approx 0{,}135\\ \text{var}.
Portanto a potência complexa na carga é aproximadamente
S_{\text{L}}\approx 0{,}269 + \mathrm{j}0{,}135\\ \text{VA}.]

Passo 7

Calcular o rendimento (eficiência) da transmissão.
Definição usada: eficiência \eta = potência ativa entregue à carga / potência fornecida pelo gerador:
\eta=\frac{P_{\text{L}}}{P_g}.
Temos P_{\text{L}}\approx 0{,}269\\ \text{W} e P_g=\Re\{V_g I_g^{*}\}\approx 1{,}2848\\ \text{W}. Assim
\eta\approx \frac{0{,}269}{1{,}2848}\approx 0{,}2096 \approx 20{,}96\% \\ (\text{aprox. }21{,}0\%).

Passo 8

Calcular a atenuação em dB.
A parte real de \gamma é \alpha=0{,}05\\ \text{Np/km}. Em l=10\\ \text{km} a atenuação total em Np é
\alpha l = 0{,}05\cdot 10 = 0{,}5\\ \text{Np}.
Conversão Np \to dB usa 1\\ \text{Np}=8{,}686\\ \text{dB}. Portanto a atenuação em dB é
A_{\text{dB}} = \alpha l \cdot 8{,}686 \approx 0{,}5\cdot 8{,}686 \approx 4{,}343\\ \text{dB}.
Observação: o fator de amplitude correspondente é e^{-\alpha l}=e^{-0,5}\approx 0{,}6065, e 20\log_{10}(0{,}6065)\approx -4{,}343\\ \text{dB} (consistente).

Resposta

a) I_{\text{entrada}}=0{,}06455\angle 5{,}60^{\circ}\\ \text{A};\quad V_{\text{entrada}}=13{,}59\angle -2{,}66^{\circ}\\ \text{V};\quad S_{\text{entrada}}\approx 0{,}868 - \mathrm{j}0{,}126\\ \text{VA} (potência ativa P_{\text{entrada}}\approx 0{,}868\\ \text{W}).
b) I_{\text{carga}}=0{,}05189\angle -123{,}3^{\circ}\\ \text{A};\quad V_{\text{carga}}=5{,}81\angle -97{,}1^{\circ}\\ \text{V};\quad S_{\text{carga}}\approx 0{,}269 + \mathrm{j}0{,}135\\ \text{VA} (potência ativa P_{\text{carga}}\approx 0{,}269\\ \text{W}).
c) Rendimento \eta=\dfrac{P_{\text{carga}}}{P_{g}}\approx 0{,}2096\approx 20{,}96\% (aprox. 21{,}0\%).
d) Atenuação total A_{\text{dB}}\approx 4{,}343\\ \text{dB}.

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