Em uma linha de empacotamento de um certo produtos a serem consumidos no mesmo dia, a probabilidade de uma unidade sair contaminada é
, independentemente das demais. De uma remessa com
unidades, seja
o número de unidades contaminadas, qual a probablidade de que pelo menos 5 unidades estejam contaminadas?
Passo 1
O problema dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Probabilidade de uma unidade sair contaminada:
. - Tamanho da remessa:
unidades. - Seja
o número de unidades contaminadas na remessa de unidades. - Pergunta: qual a probabilidade de que pelo menos 5 unidades estejam contaminadas, isto é, calcular
.
Passo 2
Vamos escrever claramente o que seria a expressão exata para a probabilidade. Se cada unidade tem probabilidade
de estar contaminada, independentemente das demais, então
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. A probabilidade exata de
tomar um valor
é dada por
Mas aqui não precisamos escrever todos os termos; em vez disso usamos a ideia do complemento:
Passo 3
Calcular diretamente
é trabalhoso à mão. Observação importante: temos
grande e
pequeno, e o valor esperado é
Quando
é grande,
é pequeno e
é moderado, é comum e adequado aproximar a binomial por uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Isso simplifica muito as contas e é uma aproximação padrão em provas. Vou usar essa aproximação aqui.
Passo 4
A distribuição de Poisson com parâmetro
tem massa de probabilidade
Usando a aproximação
com
, temos
Passo 5
Vamos calcular cada termo
para
. Primeiro o fator comum
Agora os termos:
Passo 6
Somamos os termos de
a
:
Fazendo a soma:
Portanto
Passo 7
Interpretação final e arredondamento: a probabilidade de haver pelo menos 5 unidades contaminadas na remessa de
unidades é aproximadamente
(ou cerca de
). A aproximação por Poisson é adequada aqui porque
é grande,
é pequeno e
é moderado; o erro da aproximação é muito pequeno para fins práticos.