Um motor elétrico aciona, por meio de um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos, um eixo de saída de uma esteira transportadora.
A engrenagem motora possui 18 dentes e gira a 1200 rpm . A engrenagem movida possui 54 dentes.
a) Calcule a relação de transmissão
b) Determine a rotação do eixo de saída.
c) Indique se o conjunto se comporta como redutor ou multiplicador de velocidade.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados:
  • Engrenagem motora: número de dentes \,Z_1 = 18 (peguei do enunciado).
  • Rotação da engrenagem motora: \,n_1 = 1200\\ \text{rpm} (peguei do enunciado).
  • Engrenagem movida (de saída): número de dentes \,Z_2 = 54 (peguei do enunciado).
O enunciado pede:
(a) Calcular a relação de transmissão.
(b) Determinar a rotação do eixo de saída.
(c) Indicar se o conjunto é redutor ou multiplicador de velocidade.

Passo 2

Entendendo a relação entre dentes e rotações (a ideia física, passo a passo).
  • Quando duas engrenagens cilíndricas de dentes retos engrenam sem deslizamento, a velocidade linear na circunferência de contato é a mesma para ambas. Chamando os raios de passo de cada engrenagem de r_1 e r_2 e as velocidades angulares de \omega_1 e \omega_2, tem-se:
r_1 \,\omega_1 = r_2 \,\omega_2.
  • O número de dentes Z é proporcional ao diâmetro (ou raio) de passo quando o módulo é o mesmo. Logo
\frac{r_1}{r_2}=\frac{Z_1}{Z_2}.
  • Substituindo essa proporção na igualdade das velocidades lineares e rearranjando, obtemos a relação entre as rotações (em rpm ou qualquer unidade proporcional):
\frac{n_1}{n_2}=\frac{Z_2}{Z_1},
onde:
  • n_1 é a rotação da engrenagem motora (entrada) em rpm,
  • n_2 é a rotação da engrenagem movida (saída) em rpm,
  • Z_1 e Z_2 são os números de dentes das engrenagens 1 e 2 respectivamente.
  • A razão de transmissão i costuma ser definida como a relação entre rotação de entrada e saída:
i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{Z_2}{Z_1}.
Explicação simples: se a engrenagem movida tem mais dentes que a motora, ela “anda” mais devagar (cada volta da motora causa menos voltas na movida), e vice-versa.

Passo 3

Calcular a relação de transmissão numericamente usando a fórmula \,i=\dfrac{Z_2}{Z_1}.
i=\frac{Z_2}{Z_1}=\frac{54}{18}.
Fazendo a divisão:
i=3.
Interpretação: i=3 significa que a engrenagem motora dá 3 voltas para cada 1 volta da engrenagem de saída — razão de transmissão 3{:}1.

Passo 4

Determinar a rotação da saída usando \dfrac{n_1}{n_2}=i ou diretamente n_2=n_1\frac{Z_1}{Z_2}.
n_2 = \frac{n_1}{i} = n_1\frac{Z_1}{Z_2}.
Substituindo os valores:
n_2 = 1200\cdot\frac{18}{54}.
Calcule a fração \dfrac{18}{54}=\dfrac{1}{3}. Então
n_2 = 1200\cdot\frac{1}{3}=400\\ \text{rpm}.

Passo 5

Classificação do conjunto (redutor ou multiplicador).
  • Como a rotação de saída \,n_2=400\\ \text{rpm} é menor que a rotação de entrada \,n_1=1200\\ \text{rpm}, o conjunto reduz a velocidade.
  • Portanto, o conjunto se comporta como um redutor de velocidade (e, por consequência, aumenta o torque na mesma proporção idealmente, mas não pediram torque).
Força final: você já tem a técnica — com o número de dentes você consegue trocar entre rapidez e torque. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

(a) i=\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{Z_2}{Z_1}=3
(b) n_2=400\\ \text{rpm}
(c) Redutor de velocidade.

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