Um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos é utilizado para transmitir 5 kW entre dois eixos paralelos.
A engrenagem motora gira a 1500 rpm , com 24 dentes e módulo \mathrm{m}=3. Admita que o rendimento do par de engrenagens seja de 96 %.
a) Determine o torque no eixo de entrada.
b) Determine o torque no eixo de saída, desconsiderando outras perdas além do rendimento do par engrenado.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Potência associada ao par de engrenagens: 5\\ \text{kW}.
  • A engrenagem motora (pinhão) gira a 1500\\ \text{rpm}.
  • O pinhão tem 24 dentes e módulo m=3 (unidade mm por dente).
  • Rendimento do par de engrenagens: \eta = 96\\ \% (ou 0,96 em fração).
    As perguntas do enunciado são:
    (a) Determinar o torque no eixo de entrada (torque do eixo motriz).
    (b) Determinar o torque no eixo de saída, desconsiderando outras perdas além do rendimento do par engrenado.
Observação importante (sobre dados que faltam e hipótese que vou adotar):
  • O enunciado NÃO informa o número de dentes da engrenagem movida (a coroa). Sem essa informação não é possível conhecer a relação de transmissão (razão de velocidades) e, portanto, não é possível determinar a velocidade angular do eixo de saída \emph{a partir dos dados fornecidos}. A relação de transmissão também afeta a relação entre os torques dos eixos.
  • Para que o problema seja resolvível com os dados dados, vou adotar a hipótese mais simples e usual em exercícios desse tipo: interpretar 5\\ \text{kW} como a potência entregue pelo motor ao eixo de entrada (potência de entrada ao par) e assumir que a razão de transmissão é 1:1 (ou seja, ambas as engrenagens têm o mesmo número de dentes), salvo indicação contrária. Vou justificar essa escolha e explicar como mudaria o resultado se a razão fosse diferente.

Passo 2

Fórmula básica que liga potência, torque e velocidade angular:
  • Para um eixo rotante, a potência P (em watts) está relacionada ao torque T (em newton·metro) e à velocidade angular \omega (em rad/s) por
P = T \, \omega.
Explicando cada termo:
  • P é a potência transmitida pelo eixo, em \mathrm{W}.
  • T é o torque no eixo, em \mathrm{N\cdot m}.
  • \omega é a velocidade angular do eixo, em \mathrm{rad/s}.
Relação entre velocidade de rotação n (em rpm) e velocidade angular \omega:
\omega = \frac{2\pi n}{60}.
Aqui n é o número de rotações por minuto.
Aplicando ao caso dado: a velocidade do eixo de entrada é n=1500\\ \mathrm{rpm}, portanto
\omega_1 = \frac{2\pi \cdot 1500}{60} = 2\pi \cdot 25 = 50\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Numérica aproximada: 50\pi \approx 157{,}0796\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Cálculo do torque no eixo de entrada (parte a):
  • Assumo que a potência fornecida pelo motor ao eixo de entrada é P_{\text{in}}=5\\ \text{kW}=5000\\ \mathrm{W}.
  • Usando P = T \omega isolamos o torque:
T_{\text{in}} = \frac{P_{\text{in}}}{\omega_1}.
Substituindo os valores:
T_{\text{in}} = \frac{5000}{50\pi} = \frac{5000}{157{,}0796}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Calculando:
T_{\text{in}} \approx 31{,}8309886\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando para duas casas decimais:
T_{\text{in}} \approx 31{,}83\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário didático: essa é a forma padrão de calcular torque quando se conhece potência e rotação. Dá para fazer na prova sem calculadora científica básica: calcule \omega por 2\pi n/60 (aqui deu 50\pi), depois divida P por esse resultado.

Passo 4

Cálculo do torque no eixo de saída (parte b) — relação com rendimento:
  • O rendimento \eta relaciona potência útil na saída P_{\text{out}} com potência de entrada P_{\text{in}}:
\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}.
Logo,
P_{\text{out}} = \eta \, P_{\text{in}}.
Com \eta=0{,}96 e P_{\text{in}}=5000\\ \mathrm{W}:
P_{\text{out}} = 0{,}96 \times 5000 = 4800\\ \mathrm{W}.
Agora, para obter o torque no eixo de saída precisamos da velocidade angular desse eixo \omega_2. A velocidade \omega_2 depende da razão de transmissão das engrenagens:
\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{z_1}{z_2},
onde z_1 é número de dentes do pinhão (aqui 24) e z_2 é número de dentes da coroa. O torque no eixo de saída seria
T_{\text{out}} = \frac{P_{\text{out}}}{\omega_2}.
Sem z_2 não é possível obter \omega_2 nem T_{\text{out}} unicamente.

Passo 5

Hipótese prática e resultado final para o caso adotado:
  • Como o enunciado não fornece z_2, adotei a hipótese comum em exercícios elementares: razão de transmissão 1:1 (isto é, z_2=z_1=24). Nesse caso \omega_2=\omega_1. Justificativa: quando a razão não é dada, uma hipótese razoável e simples é a transmissão 1:1; além disso o enunciado forneceu os dados do pinhão (dentes e módulo) possivelmente apenas para permitir calcular o diâmetro primitivo se necessário, mas para torque a informação essencial é potência e rotação.
  • Sob essa hipótese, a velocidade angular de saída é \omega_2=\omega_1=50\pi\\ \mathrm{rad/s}. Então
T_{\text{out}} = \frac{P_{\text{out}}}{\omega_2} = \frac{4800}{50\pi} = \frac{4800}{157{,}0796}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Calculando:
T_{\text{out}} \approx 30{,}4777493\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando:
T_{\text{out}} \approx 30{,}48\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação adicional (se a razão não fosse 1:1):
  • Se a engrenagem movida tivesse, por exemplo, z_2 dentes diferente de 24, valeria T_{\text{out}} = \dfrac{P_{\text{out}}}{\omega_2} = \dfrac{P_{\text{out}}}{\omega_1 (z_1/z_2)} = \dfrac{P_{\text{out}}}{\omega_1}\cdot \dfrac{z_2}{z_1}. Em termos do torque calculado no passo 3 isso dá T_{\text{out}} = T_{\text{in}}\cdot \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}\cdot\frac{z_2}{z_1} = T_{\text{in}}\cdot\eta\cdot\frac{z_2}{z_1}. Ou seja, sem z_2 não se pode dar um único valor.

Resposta

T_{\text{entrada}} = 31{,}83\\ \mathrm{N\cdot m}
T_{\text{saída}} = 30{,}48\\ \mathrm{N\cdot m}í

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