Um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos é utilizado para transmitir 5 kW entre dois eixos paralelos.
A engrenagem motora gira a 1500 rpm , com 24 dentes e módulo
. Admita que o rendimento do par de engrenagens seja de 96 %.
a) Determine o torque no eixo de entrada.
b) Determine o torque no eixo de saída, desconsiderando outras perdas além do rendimento do par engrenado.
a) Determine o torque no eixo de entrada.
b) Determine o torque no eixo de saída, desconsiderando outras perdas além do rendimento do par engrenado.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- Potência associada ao par de engrenagens:
. - A engrenagem motora (pinhão) gira a
. - O pinhão tem
dentes e módulo (unidade mm por dente). - Rendimento do par de engrenagens:
(ou em fração).
As perguntas do enunciado são:
(a) Determinar o torque no eixo de entrada (torque do eixo motriz).
(b) Determinar o torque no eixo de saída, desconsiderando outras perdas além do rendimento do par engrenado.
Observação importante (sobre dados que faltam e hipótese que vou adotar):
- O enunciado NÃO informa o número de dentes da engrenagem movida (a coroa). Sem essa informação não é possível conhecer a relação de transmissão (razão de velocidades) e, portanto, não é possível determinar a velocidade angular do eixo de saída \emph{a partir dos dados fornecidos}. A relação de transmissão também afeta a relação entre os torques dos eixos.
- Para que o problema seja resolvível com os dados dados, vou adotar a hipótese mais simples e usual em exercícios desse tipo: interpretar
como a potência entregue pelo motor ao eixo de entrada (potência de entrada ao par) e assumir que a razão de transmissão é (ou seja, ambas as engrenagens têm o mesmo número de dentes), salvo indicação contrária. Vou justificar essa escolha e explicar como mudaria o resultado se a razão fosse diferente.
Passo 2
Fórmula básica que liga potência, torque e velocidade angular:
- Para um eixo rotante, a potência
(em watts) está relacionada ao torque (em newton·metro) e à velocidade angular (em rad/s) por
Explicando cada termo:
-
é a potência transmitida pelo eixo, em . -
é o torque no eixo, em . -
é a velocidade angular do eixo, em .
Relação entre velocidade de rotação
(em rpm) e velocidade angular
:
Aqui
é o número de rotações por minuto.
Aplicando ao caso dado: a velocidade do eixo de entrada é
, portanto
Numérica aproximada:
.
Passo 3
Cálculo do torque no eixo de entrada (parte a):
- Assumo que a potência fornecida pelo motor ao eixo de entrada é
. - Usando
isolamos o torque:
Substituindo os valores:
Calculando:
Arredondando para duas casas decimais:
Comentário didático: essa é a forma padrão de calcular torque quando se conhece potência e rotação. Dá para fazer na prova sem calculadora científica básica: calcule
por
(aqui deu
), depois divida
por esse resultado.
Passo 4
Cálculo do torque no eixo de saída (parte b) — relação com rendimento:
- O rendimento
relaciona potência útil na saída com potência de entrada :
Logo,
Com
e
:
Agora, para obter o torque no eixo de saída precisamos da velocidade angular desse eixo
. A velocidade
depende da razão de transmissão das engrenagens:
onde
é número de dentes do pinhão (aqui
) e
é número de dentes da coroa. O torque no eixo de saída seria
Sem
não é possível obter
nem
unicamente.
Passo 5
Hipótese prática e resultado final para o caso adotado:
- Como o enunciado não fornece
, adotei a hipótese comum em exercícios elementares: razão de transmissão (isto é, ). Nesse caso . Justificativa: quando a razão não é dada, uma hipótese razoável e simples é a transmissão 1:1; além disso o enunciado forneceu os dados do pinhão (dentes e módulo) possivelmente apenas para permitir calcular o diâmetro primitivo se necessário, mas para torque a informação essencial é potência e rotação. - Sob essa hipótese, a velocidade angular de saída é
. Então
Calculando:
Arredondando:
Observação adicional (se a razão não fosse 1:1):
- Se a engrenagem movida tivesse, por exemplo,
dentes diferente de , valeria . Em termos do torque calculado no passo 3 isso dá . Ou seja, sem não se pode dar um único valor.