Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de controle da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade de a peça ser defeituosa, determine a probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa: na 5^a peça produzida.

Passo 1

Vamos analisar o problema: uma linha de produção para peças está sendo monitorada para garantir alta qualidade. Sempre que uma peça defeituosa é encontrada, a produção para para ajustes. A probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 0,01. Precisamos determinar a probabilidade de que a primeira peça defeituosa ocorra exatamente na quinta peça produzida.
Conteúdo da matéria: Probabilidade, especificamente a distribuição geométrica.
O que precisamos para resolver: Entender como calcular a probabilidade de ocorrência de um evento específico após uma sequência de eventos não ocorridos, utilizando a distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a primeira peça defeituosa ocorre na quinta produção. Isso implica que as quatro primeiras peças foram produzidas sem defeitos e a quinta peça foi a primeira com defeito.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, usamos a distribuição geométrica, que nos dá a probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer no n-ésimo ensaio. No nosso caso, “sucesso” é encontrar uma peça defeituosa.
A fórmula da distribuição geométrica é:
P(X = n) = (1 - p)^n-1 times p
onde:
  • é a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no n-ésimo produto.
  • é a probabilidade de uma peça ser defeituosa (0,01).
  • é o número da peça em que ocorre o primeiro defeito (5 neste caso).

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
P(X = 5) = (1 - 0,01)^5-1 times 0,01
P(X = 5) = (0,99)^4 times 0,01
Calculando 0,99^4 approx 0,96059601 :
0,96059601 times 0,01 approx 0,00960596
Multiplicando pelo :

Resposta

A probabilidade de ocorrer uma peça defeituosa exatamente na quinta peça produzida é de aproximadamente 0,96%.

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