Para a linha de transmissão longa de 230 \mathrm{kV}, 300 \mathrm{~A} e fator de potência de 0,9 em atraso, determinar a tensão, corrente e fator de potência no lado da recepção para os seguintes dados da linha:
\begin{gathered} A=\operatorname{cosh} (\gamma l)=0,8904 \angle 1,34^{\circ} \\\ Z_{c}=406,4 \angle-5,48^{\circ} \Omega \\\ \operatorname{senh}(\gamma l)=0,4597 \angle 84,93^{\circ} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão, a corrente e o fator de potência no lado da recepção (receiving end) da linha. Dados fornecidos:
\text{Tensão nominal (linha-linha no lado de envio)} = 230\\ \mathrm{kV}ã
\text{Corrente no lado de envio} = 300\\ \mathrm{A}
\text{Fator de potência no lado de envio} = 0{,}9\\ \text{em atraso}ê
e os parâmetros da linha longa:
A=\operatorname{cosh}(\gamma l)=0{,}8904\angle 1{,}34^\circ
Z_c=406{,}4\angle -5{,}48^\circ\\ \Omega
\operatorname{senh}(\gamma l)=0{,}4597\angle 84{,}93^\circ
O que precisamos encontrar: a tensão no lado de recepção (valor e ângulo), a corrente no lado de recepção (valor e ângulo) e o fator de potência no lado de recepção (se é adiantado ou atrasado e o valor numérico).

Passo 2

Modelo e equações que vamos usar (linha longa, representação por parâmetros ABCD):
\begin{pmatrix}V_s\\[4pt]I_s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A & B\\[4pt]C & D\end{pmatrix} \begin{pmatrix}V_r\\[4pt]I_r\end{pmatrix},
onde, para linha longa,
A=D=\operatorname{cosh}(\gamma l),\qquad B=Z_c\,\operatorname{sinh}(\gamma l),\qquad C=\frac{\operatorname{sinh}(\gamma l)}{Z_c}.
Como para estes parâmetros vale \det = AD-BC=1, a inversa da matriz ABCD é simples e obtemos as relações diretas:
\begin{pmatrix}V_r\\[4pt]I_r\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}D & -B\\[4pt]-C & A\end{pmatrix} \begin{pmatrix}V_s\\[4pt]I_s\end{pmatrix},
ou explicitamente
V_r = D\,V_s - B\,I_s, \qquad I_r = -C\,V_s + A\,I_s.
Vou aplicar essas fórmulas com os números fornecidos. Antes, precisamos calcular B e C numericamente a partir de Z_c e \operatorname{senh}(\gamma l), e converter as grandezas de linha (linha-linha) para valores por fase (linha-neutro), que é a convenção das equações por fase.]

Passo 3

Conversões e referência de fases (escolhemos a tensão de envio como referência de fase, 0^\circ):
  • Tensão linha-linha de envio dada: 230\\ \mathrm{kV}. O valor por fase (linha-neutro) é
V_s^{(ph)}=\frac{230\\ \mathrm{kV}}{\sqrt{3}}= \frac{230\,000}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}=132{,}790\\ \mathrm{V}.
Escolho a referência de fase de modo que
V_s^{(ph)}=132{,}790\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Corrente no envio: I_s=300\\ \mathrm{A} com fator de potência 0{,}9 em atraso. O ângulo de defasagem da corrente em relação à tensão é
\varphi_s=\cos^{-1}(0{,}9)=25{,}84^\circ.
Como é atraso, a corrente tem ângulo negativo:
I_s=300\angle -25{,}84^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Cálculo de B=Z_c\,\operatorname{sinh}(\gamma l). Usamos os dados fornecidos:
Z_c=406{,}4\angle -5{,}48^\circ\\ \Omega,\qquad \operatorname{senh}(\gamma l)=0{,}4597\angle 84{,}93^\circ.
Multiplicando em forma polar (modos e ângulos somam):
|B|=406{,}4\cdot 0{,}4597=186{,}822\\ \Omega
\angle B = -5{,}48^\circ + 84{,}93^\circ = 79{,}45^\circ.
Logo
B=186{,}822\angle 79{,}45^\circ\\ \Omega.

Passo 5

Cálculo de C=\dfrac{\operatorname{sinh}(\gamma l)}{Z_c}. Em polar:
|C|=\frac{0{,}4597}{406{,}4}=0{,}00113146\\ \mathrm{S}
\angle C = 84{,}93^\circ - (-5{,}48^\circ)=90{,}41^\circ.
Portanto
C=0{,}00113146\angle 90{,}41^\circ\\ \mathrm{S}.

Passo 6

Cálculo de V_r usando V_r = D\,V_s - B\,I_s e D=A=0{,}8904\angle 1{,}34^\circ.
  1. Primeiro D\,V_s:
D\,V_s = 0{,}8904\angle 1{,}34^\circ \times 132{,}790\angle 0^\circ =118{,}236{,}2\angle 1{,}34^\circ\\ \mathrm{V}.
Em retangular:
D\,V_s \approx 118{,}203 + j2{,}765\\ \mathrm{V}.
  1. Agora B\,I_s:
B\,I_s = 186{,}822\angle 79{,}45^\circ \times 300\angle -25{,}84^\circ =56{,}046{,}6\angle 53{,}61^\circ\\ \mathrm{V}.
Em retangular (cálculo de cosseno e seno):
B\,I_s \approx 33{,}280{,}5 + j45{,}100{,}6\\ \mathrm{V}.
  1. Subtração (phasor): V_r = D\,V_s - B\,I_s:
V_r \approx (118{,}203 - 33{,}280{,}5) + j(2{,}765 - 45{,}100{,}6)
V_r \approx 84{,}922{,}5 - j42{,}335{,}4\\ \mathrm{V}\\ \text{(por fase)}.
Magnitude e ângulo por fase:
|V_r^{(ph)}|=\sqrt{84{,}922{,}5^2 + (-42{,}335{,}4)^2}\approx 94{,}869\\ \mathrm{V}\times 10^3 =94{,}869\\ \mathrm{V},
\angle V_r^{(ph)}=\arctan\Big(\frac{-42{,}335{,}4}{84{,}922{,}5}\Big)\approx -26{,}57^\circ.
Convertendo para tensão linha-linha (mais usual para transmissão):
V_r^{(ll)}=\sqrt{3}\,|V_r^{(ph)}| \approx \sqrt{3}\cdot 94{,}869\\ \mathrm{V}\approx 164{,}305\\ \mathrm{V}=164{,}3\\ \mathrm{kV}.
O ângulo da tensão linha-linha é o mesmo da tensão por fase (referência de fase não muda): -26{,}57^\circ.

Passo 7

Cálculo de I_r usando I_r = -C\,V_s + A\,I_s.
  1. Primeiro A\,I_s:
A\,I_s = 0{,}8904\angle 1{,}34^\circ \times 300\angle -25{,}84^\circ =267{,}12\angle -24{,}50^\circ\\ \mathrm{A}.
Em retangular:
A\,I_s \approx 243{,}02 - j110{,}85\\ \mathrm{A}.
  1. Agora C\,V_s:
C\,V_s = 0{,}00113146\angle 90{,}41^\circ \times 132{,}790\angle 0^\circ =150{,}25\angle 90{,}41^\circ\\ \mathrm{A}.
Em retangular:
C\,V_s \approx -1{,}075 + j150{,}24\\ \mathrm{A}.
  1. Subtração: I_r = A\,I_s - C\,V_s:
I_r \approx (243{,}02 - (-1{,}075)) + j(-110{,}85 - 150{,}24)
I_r \approx 244{,}095 - j261{,}09\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_r|=\sqrt{244{,}095^2 + (-261{,}09)^2}\approx 357{,}5\\ \mathrm{A},
\angle I_r=\arctan\Big(\frac{-261{,}09}{244{,}095}\Big)\approx -46{,}58^\circ.
(Qualquer corrente em linha é igual à corrente por fase neste cálculo simétrico, então esse valor é a corrente de linha.)

Passo 8

Cálculo do fator de potência no lado de recepção. O fator de potência é o cosseno do ângulo entre tensão e corrente no lado de recepção:
\varphi_r=\angle V_r - \angle I_r = (-26{,}57^\circ) - (-46{,}58^\circ)=20{,}01^\circ.
O fator de potência é
\text{pf}_r=\cos(20{,}01^\circ)\approx 0{,}94.
Como a corrente tem ângulo mais negativo que a tensão ( \angle I_r<\angle V_r), a corrente ainda está em atraso em relação à tensão — ou seja, é fator de potência de 0{,}94 em atraso.

Resposta

V_{r,\text{fase}}=94{,}869\\ \mathrm{kV}\angle -26{,}57^\circ
V_{r,\text{linha-linha}}=164{,}305\\ \mathrm{V}=164{,}3\\ \mathrm{kV}\angle -26{,}57^\circ
I_r=357{,}5\\ \mathrm{A}\angle -46{,}58^\circ
\text{pf}_r=0{,}94 (atraso)

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