2 - Uma linha de transmissão com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,2 \pi \mathrm{~m}^{-1} tem 31,25 \mathrm{~m} de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz 253 \mathrm{~V}_{r m s} e impedância de saída de 40+\mathrm{j} 30 \Omega. Calcular:
b) A corrente (valor eficaz) na carga.
2A
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes do enunciado):
Z_{0}=50\\ \Omega (impedância característica).
\gamma=\mathrm{j}\,0,2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}. Como está puramente imaginário, temos \gamma=\mathrm{j}\beta com \beta=0,2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.
comprimento da linha l=31,25\\ \mathrm{m}.
carga Z_{L}=100\\ \Omega.
gerador com tensão eficaz V_{s}=253\\ \mathrm{V_{rms}}.
impedância de saída do gerador Z_{g}=40+\mathrm{j}\,30\\ \Omega.
O que o enunciado pede (parte b):
A corrente (valor eficaz) na carga, isto é, |I_{L}| em ampères.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo de forma didática).
Propagação em linha sem perdas: \gamma=\mathrm{j}\beta. O parâmetro \beta é a constante de fase; o comportamento ao longo da linha depende de \beta l.
Impedância de entrada de uma linha de comprimento l terminada em Z_{L} (para linha sem perdas):
Isto vem da solução das ondas incidentes e refletidas na linha; Z_{\text{in}} é a impedância vista pelo gerador.
Coeficiente de reflexão na carga:
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
Relação entre as ondas (esquematicamente): existe uma onda progressiva V^{+} e uma refletida V^{-}=\Gamma_{L}V^{+}. A corrente na carga (phasor) é I_{L}=(V^{+}/Z_{0})(1-\Gamma_{L}). A corrente na entrada da linha é I_{\text{in}}=(V^{+}/Z_{0})(e^{\mathrm{j}\beta l}-\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}). Assim obtemos a relação
Essa fórmula permite obter a corrente na carga a partir da corrente que sai do gerador para a linha I_{\text{in}}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para calcular |I_{L}|.
Passo 3
Calcular \beta l e trigonometria necessária.
\beta=0,2\pi\\ \mathrm{m}^{-1} e l=31,25\\ \mathrm{m}. Então
\beta l = 0,2\pi \times 31,25 = 6{,}25\pi.
Como \tan(x) tem período \pi, \tan(6{,}25\pi)=\tan(6\pi + 0{,}25\pi)=\tan(0{,}25\pi)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Também será útil e^{\mathrm{j}\beta l}=e^{\mathrm{j}6{,}25\pi}=e^{\mathrm{j}\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\mathrm{j}) e e^{-\mathrm{j}\beta l}=e^{-\mathrm{j}\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\mathrm{j}).
Passo 4
Calcular a impedância de entrada Z_{\text{in}} usando a fórmula da Passo 2 e \tan(\beta l)=1.
(Observação: se preferir, pode verificar diretamente com os números complexos que o produto dá exatamente 2{,}0\\ \mathrm{A}.)
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: o resultado é um número bonito 2{,}0\\ \mathrm{A}. Não se assuste com todos os sinais complexos — aqui houve várias simplificações (por exemplo Z_{\text{in}} virou o conjugado de Z_{g}, fazendo Z_{g}+Z_{\text{in}} real) que facilitaram a conta. Você conseguiu!