2 - Uma linha de transmissão com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,2 \pi \mathrm{~m}^{-1} tem 31,25 \mathrm{~m} de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz 253 \mathrm{~V}_{r m s} e impedância de saída de 40+\mathrm{j} 30 \Omega. Calcular:
b) A corrente (valor eficaz) na carga.
2A

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (peguei todos estes do enunciado):
    • Z_{0}=50\\ \Omega (impedância característica).
    • \gamma=\mathrm{j}\,0,2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}. Como está puramente imaginário, temos \gamma=\mathrm{j}\beta com \beta=0,2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.
    • comprimento da linha l=31,25\\ \mathrm{m}.
    • carga Z_{L}=100\\ \Omega.
    • gerador com tensão eficaz V_{s}=253\\ \mathrm{V_{rms}}.
    • impedância de saída do gerador Z_{g}=40+\mathrm{j}\,30\\ \Omega.
  • O que o enunciado pede (parte b):
    • A corrente (valor eficaz) na carga, isto é, |I_{L}| em ampères.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo de forma didática).
  • Propagação em linha sem perdas: \gamma=\mathrm{j}\beta. O parâmetro \beta é a constante de fase; o comportamento ao longo da linha depende de \beta l.
  • Impedância de entrada de uma linha de comprimento l terminada em Z_{L} (para linha sem perdas):
Z_{\text{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{L} + \mathrm{j}Z_{0}\tan(\beta l)}{Z_{0} + \mathrm{j}Z_{L}\tan(\beta l)}.
Isto vem da solução das ondas incidentes e refletidas na linha; Z_{\text{in}} é a impedância vista pelo gerador.
  • Coeficiente de reflexão na carga:
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
  • Relação entre as ondas (esquematicamente): existe uma onda progressiva V^{+} e uma refletida V^{-}=\Gamma_{L}V^{+}. A corrente na carga (phasor) é I_{L}=(V^{+}/Z_{0})(1-\Gamma_{L}). A corrente na entrada da linha é I_{\text{in}}=(V^{+}/Z_{0})(e^{\mathrm{j}\beta l}-\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}). Assim obtemos a relação
I_{L}=I_{\text{in}}\cdot\frac{1-\Gamma_{L}}{e^{\mathrm{j}\beta l}-\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}}.
Essa fórmula permite obter a corrente na carga a partir da corrente que sai do gerador para a linha I_{\text{in}}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo para calcular |I_{L}|.

Passo 3

Calcular \beta l e trigonometria necessária.
  • \beta=0,2\pi\\ \mathrm{m}^{-1} e l=31,25\\ \mathrm{m}. Então
\beta l = 0,2\pi \times 31,25 = 6{,}25\pi.
  • Como \tan(x) tem período \pi, \tan(6{,}25\pi)=\tan(6\pi + 0{,}25\pi)=\tan(0{,}25\pi)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
  • Também será útil e^{\mathrm{j}\beta l}=e^{\mathrm{j}6{,}25\pi}=e^{\mathrm{j}\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\mathrm{j}) e e^{-\mathrm{j}\beta l}=e^{-\mathrm{j}\pi/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\mathrm{j}).

Passo 4

Calcular a impedância de entrada Z_{\text{in}} usando a fórmula da Passo 2 e \tan(\beta l)=1.
Z_{\text{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+\mathrm{j}Z_{0}\cdot 1}{Z_{0}+\mathrm{j}Z_{L}\cdot 1} =50\cdot\frac{100+\mathrm{j}50}{50+\mathrm{j}100}.
Vamos simplificar a fração:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador (50-\mathrm{j}100):
\frac{100+\mathrm{j}50}{50+\mathrm{j}100}=\frac{(100+\mathrm{j}50)(50-\mathrm{j}100)}{50^{2}+100^{2}}.
Calcule o numerador:
(100+\mathrm{j}50)(50-\mathrm{j}100)=100\cdot50 +100\cdot(-\mathrm{j}100)+\mathrm{j}50\cdot50+\mathrm{j}50\cdot(-\mathrm{j}100).
=5000 -\mathrm{j}10000 +\mathrm{j}2500 +5000 =10000 -\mathrm{j}7500.
Denominador: 50^{2}+100^{2}=12500. Logo
\frac{100+\mathrm{j}50}{50+\mathrm{j}100}=\frac{10000-\mathrm{j}7500}{12500}=0{,}8-\mathrm{j}0{,}6.
Multiplicando por 50:
Z_{\text{in}}=50(0{,}8-\mathrm{j}0{,}6)=40-\mathrm{j}30\\ \Omega.
Observação simpática: Z_{\text{in}}=40-\mathrm{j}30\\ \Omega é o conjugado de Z_{g}=40+\mathrm{j}30\\ \Omega. Isso vai simplificar a conta.

Passo 5

Calcular a corrente que sai do gerador e entra na linha ( I_{\text{in}}) usando divisão de tensão (circuito série).
O gerador vê Z_{g} em série com Z_{\text{in}}. Portanto
I_{\text{in}}=\frac{V_{s}}{Z_{g}+Z_{\text{in}}}.
Somando as impedâncias:
Z_{g}+Z_{\text{in}}=(40+\mathrm{j}30)+(40-\mathrm{j}30)=80\\ \Omega\quad(\text{real}).
Logo
I_{\text{in}}=\frac{253}{80}=3{,}1625\\ \mathrm{A}
(no valor eficaz, já que V_{s} era eficaz).

Passo 6

Calcular o coeficiente de reflexão na carga \Gamma_{L}.
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}=\frac{100-50}{100+50}=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}\approx0{,}3333.

Passo 7

Relacionar I_{L} com I_{\text{in}} usando a fórmula das ondas (ver Passo 2) e calcular numericamente.
A relação deduzida foi
I_{L}=I_{\text{in}}\cdot\frac{1-\Gamma_{L}}{e^{\mathrm{j}\beta l}-\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}}.
Substituindo \Gamma_{L}=\tfrac{1}{3} e e^{\mathrm{j}\beta l}=e^{\mathrm{j}\pi/4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+\mathrm{j}), e^{-\mathrm{j}\beta l}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1-\mathrm{j}):
Primeiro o numerador:
1-\Gamma_{L}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}\approx0{,}6667.
Denominador (calculemos componente a componente):
e^{\mathrm{j}\beta l}-\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l} =\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\mathrm{j})-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\mathrm{j}) =\frac{\sqrt{2}}{2}\Big((1+\mathrm{j})-\tfrac{1}{3}(1-\mathrm{j})\Big).
Dentro do parêntese:
(1+\mathrm{j})-\tfrac{1}{3}(1-\mathrm{j})=(1-\tfrac{1}{3})+\mathrm{j}(1+\tfrac{1}{3})=\tfrac{2}{3}+\mathrm{j}\tfrac{4}{3}.
Portanto
e^{\mathrm{j}\beta l}-\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Big(\tfrac{2}{3}+\mathrm{j}\tfrac{4}{3}\Big) =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\tfrac{2}{3}\,(1+2\mathrm{j}) =\tfrac{\sqrt{2}}{3}(1+2\mathrm{j}).
Agora a razão (complexa):
\frac{1-\Gamma_{L}}{e^{\mathrm{j}\beta l}-\Gamma_{L}e^{-\mathrm{j}\beta l}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{\sqrt{2}}{3}(1+2\mathrm{j})} =\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{1+2\mathrm{j}} =\sqrt{2}\cdot\frac{1}{1+2\mathrm{j}}.
Para obter o módulo dessa razão (pois queremos o valor eficaz da corrente na carga |I_{L}|), calcule o módulo de \dfrac{1}{1+2\mathrm{j}}:
\left|\frac{1}{1+2\mathrm{j}}\right|=\frac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Então o módulo da razão é
\left|\sqrt{2}\cdot\frac{1}{1+2\mathrm{j}}\right|=\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{2}{5}}.
Logo o módulo da corrente na carga é
|I_{L}|=|I_{\text{in}}|\cdot\sqrt{\frac{2}{5}}.
Substituindo I_{\text{in}}=3{,}1625\\ \mathrm{A}:
|I_{L}|=3{,}1625\cdot\sqrt{\frac{2}{5}}.
Calcule \sqrt{2/5}=\sqrt{0{,}4}=0{,}632455\ldots Multiplicando:
|I_{L}|=3{,}1625\times 0{,}632455=2{,}0\\ \mathrm{A}.
(Observação: se preferir, pode verificar diretamente com os números complexos que o produto dá exatamente 2{,}0\\ \mathrm{A}.)

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: o resultado é um número bonito 2{,}0\\ \mathrm{A}. Não se assuste com todos os sinais complexos — aqui houve várias simplificações (por exemplo Z_{\text{in}} virou o conjugado de Z_{g}, fazendo Z_{g}+Z_{\text{in}} real) que facilitaram a conta. Você conseguiu!

Resposta

2{,}0\\ \mathrm{A}

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