2 - Uma linha de transmissão com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,2 \pi \mathrm{~m}^{-1} tem 31,25 \mathrm{~m} de comprimento e alimenta uma carga de 100 \Omega. A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz 253 \mathrm{~V}_{r m s} e impedância de saída de 40+\mathrm{j} 30 \Omega. Calcular:
a) A potência (ativa ou média) na entrada da linha;
4000 N

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma bem direta para a gente não se perder):
  • Impedância característica da linha: Z_{0}=50\\ \Omega.
  • Constante de propagação: \gamma=\mathrm{j}\,0{,}2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.
    (Isto significa que \gamma é puramente imaginária; vou usar isso depois.)
  • Comprimento da linha: l=31{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Carga conectada no fim da linha: Z_{L}=100\\ \Omega.
  • Gerador com tensão eficaz: V_{g} = 253\\ \mathrm{V}_{rms}.
  • Impedância interna do gerador (em série): Z_{g}=40+\mathrm{j}\,30\\ \Omega.
O que a pergunta (a) pede:
  • Calcular a potência ativa (ou média) na entrada da linha, ou seja, a potência entregue pela fonte à entrada da linha (potência absorvida pela impedância de entrada da linha).

Passo 2

Entendendo a linha e a constante \gamma de forma simples e útil para a prova:
  • Quando \gamma=\alpha+\mathrm{j}\beta e \alpha=0 (ou seja \gamma puramente imaginária), a linha é praticamente sem perdas (linha lossless). Aqui \gamma=\mathrm{j}\beta com \beta=0{,}2\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Para uma linha lossless, a fórmula do módulo tangente que usamos é exatamente a da linha sem perdas, e a impedância de entrada é dada por uma expressão relativa a \tan(\beta l). Vou aplicar isso direto.
Calculemos primeiro \beta l:
\beta l = (0{,}2\pi)\times 31{,}25 = 6{,}25\pi.
Observe que \tan(\theta) tem período \pi. Então
\tan(\beta l)=\tan(6{,}25\pi)=\tan\!\left(6\pi+\tfrac{\pi}{4}\right)=\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1.

Passo 3

Fórmula da impedância de entrada de uma linha lossless (explicando as letras):
  • Z_{in} é a impedância vista na entrada da linha (lado do gerador).
  • Z_{0} é a impedância característica.
  • Z_{L} é a impedância na carga.
  • \beta é a constante de fase e l o comprimento.
    A fórmula é
Z_{in}=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+\mathrm{j}Z_{0}\tan(\beta l)}{Z_{0}+\mathrm{j}Z_{L}\tan(\beta l)}.
Agora substituiremos os valores que já temos e o resultado \tan(\beta l)=1.

Passo 4

Substituindo Z_{0}=50\\ \Omega, Z_{L}=100\\ \Omega e \tan(\beta l)=1:
Z_{in}=50\,\frac{100+\mathrm{j}\,50}{50+\mathrm{j}\,100}.
Vamos fazer essa divisão complexa passo a passo. Primeiro calcule o produto do numerador pela conjugada do denominador:
numerador \times conj(denominador):
(100+\mathrm{j}50)(50-\mathrm{j}100)=100\cdot50 +100\cdot(-\mathrm{j}100)+\mathrm{j}50\cdot50 +\mathrm{j}50\cdot(-\mathrm{j}100).
Calcule cada termo:
  • 100\cdot50=5000 (real),
  • 100\cdot(-\mathrm{j}100)=-\mathrm{j}10000,
  • \mathrm{j}50\cdot50=\mathrm{j}2500,
  • \mathrm{j}50\cdot(-\mathrm{j}100) = -\mathrm{j}^2 5000 = +5000 (real).
Somando partes reais e imaginárias:
  • parte real: 5000+5000=10000,
  • parte imaginária: -\mathrm{j}10000+\mathrm{j}2500=-\mathrm{j}7500.
Então o numerador total (antes de multiplicar por 50) é 10000-\mathrm{j}7500.
O denominador (módulo ao quadrado do denominador original) é
50^{2}+100^{2}=2500+10000=12500.
Agora multiplica-se o resultado pelo fator exterior 50 e divide por 12500:
Z_{in}=50\cdot\frac{10000-\mathrm{j}7500}{12500}=\frac{500000-\mathrm{j}375000}{12500}=40-\mathrm{j}30\\ \Omega.
Interessante (e útil na prova): Z_{in}=40-\mathrm{j}30\\ \Omega, que é exatamente o conjugado da impedância de saída do gerador Z_{g}=40+\mathrm{j}30\\ \Omega. Isso tem consequência direta na potência entregue (próximo passo).

Passo 5

Agora vamos calcular a corrente eficaz que circula, usando o circuito equivalente visto pelo gerador:
  • A impedância total em série vista pela fonte é Z_{g}+Z_{in}=(40+\mathrm{j}30)+(40-\mathrm{j}30)=80+\mathrm{j}0=80\\ \Omega (apenas resistência real).
  • A corrente eficaz em regime estacionário é
I_{rms}=\frac{V_{g}}{Z_{g}+Z_{in}}=\frac{253}{80}=3{,}1625\\ \mathrm{A}.
(De forma prática na prova: reconhecer conjuga e somar as partes reais.)

Passo 6

A potência ativa absorvida pela entrada da linha (o que o enunciado pede) é a potência média absorvida por Z_{in}. Para uma impedância complexa, a potência ativa é dada por
P_{in}=I_{rms}^{2}\cdot\Re(Z_{in}),
onde \Re(Z_{in}) é a parte real de Z_{in}. Aqui \Re(Z_{in})=40\\ \Omega. Então
I_{rms}^{2}=\left(\frac{253}{80}\right)^{2}=\frac{253^{2}}{80^{2}}=\frac{64009}{6400}=10{,}00140625.
Multiplicando por 40:
P_{in}=10{,}00140625\times 40 = 400{,}05625\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) para relatório de prova,
P_{in}\approx 400{,}06\\ \mathrm{W}.
Breve comentário encorajador: deu tudo certinho e de forma elegante — a coincidência de Z_{in} ser o conjugado de Z_{g} simplificou muito as contas (isso é típico de exercícios projetados para testar máximo de transferência/transformação de impedância).

Resposta

400{,}06\\ \mathrm{W}

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