2 - Uma linha de transmissão com
e
tem
de comprimento e alimenta uma carga de
. A linha é alimentada por um gerador com tensão eficaz
e impedância de saída de
. Calcular:
a) A potência (ativa ou média) na entrada da linha;
4000 N
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma bem direta para a gente não se perder):
- Impedância característica da linha:
. - Constante de propagação:
.
(Isto significa queé puramente imaginária; vou usar isso depois.) - Comprimento da linha:
. - Carga conectada no fim da linha:
. - Gerador com tensão eficaz:
. - Impedância interna do gerador (em série):
.
O que a pergunta (a) pede:
- Calcular a potência ativa (ou média) na entrada da linha, ou seja, a potência entregue pela fonte à entrada da linha (potência absorvida pela impedância de entrada da linha).
Passo 2
Entendendo a linha e a constante
de forma simples e útil para a prova:
- Quando
e (ou seja puramente imaginária), a linha é praticamente sem perdas (linha lossless). Aqui com . - Para uma linha lossless, a fórmula do módulo tangente que usamos é exatamente a da linha sem perdas, e a impedância de entrada é dada por uma expressão relativa a
. Vou aplicar isso direto.
Calculemos primeiro
:
Observe que
tem período
. Então
Passo 3
Fórmula da impedância de entrada de uma linha lossless (explicando as letras):
-
é a impedância vista na entrada da linha (lado do gerador). -
é a impedância característica. -
é a impedância na carga. -
é a constante de fase e o comprimento.
A fórmula é
Agora substituiremos os valores que já temos e o resultado
.
Passo 4
Substituindo
,
e
:
Vamos fazer essa divisão complexa passo a passo. Primeiro calcule o produto do numerador pela conjugada do denominador:
numerador conj(denominador):
numerador
Calcule cada termo:
-
(real), -
, -
, -
(real).
Somando partes reais e imaginárias:
- parte real:
, - parte imaginária:
.
Então o numerador total (antes de multiplicar por 50) é
.
O denominador (módulo ao quadrado do denominador original) é
Agora multiplica-se o resultado pelo fator exterior
e divide por
:
Interessante (e útil na prova):
, que é exatamente o conjugado da impedância de saída do gerador
. Isso tem consequência direta na potência entregue (próximo passo).
Passo 5
Agora vamos calcular a corrente eficaz que circula, usando o circuito equivalente visto pelo gerador:
- A impedância total em série vista pela fonte é
(apenas resistência real). - A corrente eficaz em regime estacionário é
(De forma prática na prova: reconhecer conjuga e somar as partes reais.)
Passo 6
A potência ativa absorvida pela entrada da linha (o que o enunciado pede) é a potência média absorvida por
. Para uma impedância complexa, a potência ativa é dada por
onde
é a parte real de
. Aqui
. Então
Multiplicando por
:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) para relatório de prova,
Breve comentário encorajador: deu tudo certinho e de forma elegante — a coincidência de
ser o conjugado de
simplificou muito as contas (isso é típico de exercícios projetados para testar máximo de transferência/transformação de impedância).