1 - Um cabo coaxial é usado para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}. A frequência de operação é de 20 MHz e o cabo coaxial tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=20 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mathrm{R}=0,05 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=250 \mathrm{nH} / \mathrm{m} e C =100 \mathrm{pF} / \mathrm{m}.
c) Se a carga for substituída por um circuito aberto, determinar a menor distância a partir da carga na qual a tensão na linha é nula.
\lambda 4=2,5 \mathrm{~m}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). O enunciado fornece:
  • Frequência de operação: 20\\ \mathrm{MHz}.
  • Parâmetros do cabo (por metro): G=20\\ \mu\mathrm{S/m}, R=0,05\\ \Omega/\mathrm{m}, L=250\\ \mathrm{nH/m}, C=100\\ \mathrm{pF/m}.
  • Foi fornecido também \lambda/4 = 2,5\\ \mathrm{m} (ou seja, a metade do comprimento de onda e demais relações podem ser obtidas a partir disso).
    O enunciado pede:
  • Se a carga for substituída por um circuito aberto, determinar a menor distância a partir da carga na qual a tensão na linha é nula.

Passo 2

Entender a forma geral da tensão ao longo da linha (explicação didática).
  • Numa linha de transmissão as ondas podem propagar-se no sentido positivo (onda incidente) e no sentido negativo (onda refletida). Denotando a amplitude complexa da onda incidente por V^+ e da refletida por V^-, a tensão em um ponto a uma distância x da carga é, para uma linha idealizada (ou de baixa perda),
V(x)=V^{+} e^{-j\beta x}+V^{-} e^{j\beta x}.
  • Aqui \beta é a constante de fase da linha e está relacionada ao comprimento de onda por
\beta=\frac{2\pi}{\lambda}.
  • Uma explicação rápida do que cada símbolo significa:
    • V(x): tensão complexa no ponto x (função da posição na linha).
    • V^{+}: amplitude da onda que viaja da fonte em direção à carga.
    • V^{-}: amplitude da onda refletida que viaja da carga de volta.
    • j: unidade imaginária.
    • \beta: constante de fase (rad/m), igual a 2\pi/\lambda.

Passo 3

Condição de circuito aberto e coeficiente de reflexão (por que isso simplifica).
  • Para um circuito aberto na extremidade (na carga) a corrente é zero em x=0. Isso gera reflexão total com coeficiente de reflexão de tensão
\Gamma_L=+1.
  • Em termos das amplitudes das ondas isso significa
V^{-}=\Gamma_L V^{+}=+V^{+}.
  • Intuição física: na extremidade aberta a tensão tem um máximo (anti-nó) porque a corrente não pode fluir; por isso a onda refletida tem mesma amplitude e mesma fase ( +1).

Passo 4

Substituir \;V^{-}=V^{+}\; na expressão de V(x) e simplificar (passo a passo).
  • Substituindo obtemos
V(x)=V^{+} e^{-j\beta x}+V^{+} e^{j\beta x}=V^{+}\bigl(e^{-j\beta x}+e^{j\beta x}\bigr).
  • Usando a identidade de Euler e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos\theta, chega-se a
V(x)=2V^{+}\cos(\beta x).
  • Portanto a tensão ao longo da linha é proporcional a \cos(\beta x). Zeros (nós de tensão) ocorrem quando \cos(\beta x)=0.

Passo 5

Encontrar as posições onde \cos(\beta x)=0 (resolver passo a passo).
  • As soluções de \cos(\beta x)=0 são
\beta x = \frac{\pi}{2} + n\pi,\qquad n=0,1,2,\dots
  • Substituindo \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda} obtemos
\frac{2\pi}{\lambda}x = \frac{\pi}{2}+n\pi
e isolando x,
x=\left(\frac{2n+1}{4}\right)\lambda = (2n+1)\frac{\lambda}{4}.
  • Isso significa que os nós de tensão (onde a tensão é zero) a partir da carga estão nas distâncias x=(2n+1)\lambda/4. O menor x>0 corresponde a n=0, ou seja x=\lambda/4.

Passo 6

Calcular numericamente usando o dado \lambda/4=2,5\\ \mathrm{m}.
  • Como o enunciado nos deu \lambda/4=2,5\\ \mathrm{m}, o menor deslocamento positivo a partir da carga onde a tensão é zero é
x=\frac{\lambda}{4}=2,5\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Observação prática curta (didática e encorajadora).
  • Na linha real, com resistência e condutância pequenas, haverá atenuação e os “nós” não serão exatamente tensão zero mas valores muito pequenos. Para a maioria dos exercícios teóricos (e para o propósito desta questão) a aproximação dada acima é a correta e suficiente.
  • Bom trabalho — esse tipo de raciocínio (ondas incidentes+refletidas e condições de contorno) aparece muito em prova; fixe bem que circuito aberto ⇒ \Gamma=+1 ⇒ tensão proporcional a \cos(\beta x).

Resposta

2,5\\ \mathrm{m}

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