1 - Um cabo coaxial é usado para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada
. A frequência de operação é de 20 MHz e o cabo coaxial tem os seguintes parâmetros:
e C
.
c) Se a carga for substituída por um circuito aberto, determinar a menor distância a partir da carga na qual a tensão na linha é nula.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). O enunciado fornece:
- Frequência de operação:
. - Parâmetros do cabo (por metro):
, , , . - Foi fornecido também
(ou seja, a metade do comprimento de onda e demais relações podem ser obtidas a partir disso).
O enunciado pede: - Se a carga for substituída por um circuito aberto, determinar a menor distância a partir da carga na qual a tensão na linha é nula.
Passo 2
Entender a forma geral da tensão ao longo da linha (explicação didática).
- Numa linha de transmissão as ondas podem propagar-se no sentido positivo (onda incidente) e no sentido negativo (onda refletida). Denotando a amplitude complexa da onda incidente por
e da refletida por , a tensão em um ponto a uma distância da carga é, para uma linha idealizada (ou de baixa perda),
- Aqui
é a constante de fase da linha e está relacionada ao comprimento de onda por
- Uma explicação rápida do que cada símbolo significa:
-
: tensão complexa no ponto (função da posição na linha). -
: amplitude da onda que viaja da fonte em direção à carga. -
: amplitude da onda refletida que viaja da carga de volta. -
: unidade imaginária. -
: constante de fase (rad/m), igual a .
-
Passo 3
Condição de circuito aberto e coeficiente de reflexão (por que isso simplifica).
- Para um circuito aberto na extremidade (na carga) a corrente é zero em
. Isso gera reflexão total com coeficiente de reflexão de tensão
- Em termos das amplitudes das ondas isso significa
- Intuição física: na extremidade aberta a tensão tem um máximo (anti-nó) porque a corrente não pode fluir; por isso a onda refletida tem mesma amplitude e mesma fase (
).
Passo 4
Substituir
na expressão de
e simplificar (passo a passo).
- Substituindo obtemos
- Usando a identidade de Euler
, chega-se a
- Portanto a tensão ao longo da linha é proporcional a
. Zeros (nós de tensão) ocorrem quando .
Passo 5
Encontrar as posições onde
(resolver passo a passo).
- As soluções de
são
- Substituindo
obtemos
e isolando
,
- Isso significa que os nós de tensão (onde a tensão é zero) a partir da carga estão nas distâncias
. O menor corresponde a , ou seja .
Passo 6
Calcular numericamente usando o dado
.
- Como o enunciado nos deu
, o menor deslocamento positivo a partir da carga onde a tensão é zero é
Passo 7
Observação prática curta (didática e encorajadora).
- Na linha real, com resistência e condutância pequenas, haverá atenuação e os “nós” não serão exatamente tensão zero mas valores muito pequenos. Para a maioria dos exercícios teóricos (e para o propósito desta questão) a aproximação dada acima é a correta e suficiente.
- Bom trabalho — esse tipo de raciocínio (ondas incidentes+refletidas e condições de contorno) aparece muito em prova; fixe bem que circuito aberto ⇒
⇒ tensão proporcional a .