2 - Uma linha de transmissão com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,1 \pi \mathrm{~m}^{-1} tem 42,5 \mathrm{~m} de comprimento e alimenta uma carga de 25 \Omega. A tensão eficaz na entrada da linha é 316,23 \mathrm{~V}_{r m s}. Calcular:
b) A tensão (valor eficaz) na carga.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
Impedância característica da linha: \;Z_{0}=50\\ \Omega.
Constante de propagação: \;\gamma=\mathrm{j}\,0{,}1\pi\\ \mathrm{m}^{-1}. (Portanto a linha é ideal (sem perdas) e \gamma=\mathrm{j}\beta com \beta=0{,}1\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.)
Comprimento da linha: \;l=42{,}5\\ \mathrm{m}.
Carga no fim da linha: \;Z_{L}=25\\ \Omega.
Tensão eficaz na entrada da linha: \;V_{\text{in,rms}}=316{,}23\\ \mathrm{V_{rms}}.
O que se pede:
(b) A tensão (valor eficaz) na carga, isto é, \;V_{L,\text{rms}}.
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas que vou usar (explicando cada variável):
Em uma linha de transmissão sem perdas (onde \gamma=\mathrm{j}\beta), a solução de ondas via direções para as fasores de tensão e corrente é, tomando z=0 no ponto da carga e z negativo em direção à fonte:V(z)=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z},
Esse número (potencialmente complexo) mede quanto da onda é refletido pela carga.
Passo 3
Calcular o coeficiente de reflexão \Gamma_{L} com os números dados.
Substituindo \;Z_{L}=25\\ \Omega e \;Z_{0}=50\\ \Omega:\Gamma_{L}=\frac{25-50}{25+50}=\frac{-25}{75}=-\tfrac{1}{3}.Ou seja \Gamma_{L}=-\tfrac{1}{3} (real e negativo).
Passo 4
Relacionar a tensão de entrada conhecida com V^{+} e V^{-}, e achar V_{L}=V(0) em função de V_{\text{in}}.
Tensão na entrada (em z=-l) éV_{\text{in}}=V(-l)=V^{+}e^{\gamma l}+V^{-}e^{-\gamma l} =V^{+}\bigl(e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}\bigr).Logo isolando V^{+}:V^{+}=\frac{V_{\text{in}}}{e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}}.
A tensão na carga (em z=0) éV_{L}=V(0)=V^{+}+V^{-}=V^{+}(1+\Gamma_{L}).Substituindo V^{+}:V_{L}=V_{\text{in}}\;\frac{1+\Gamma_{L}}{e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}}.Essa fórmula dá o fasor V_{L}. Como nos é pedido o valor eficaz (magnitude rms), vamos tomar o módulo (no caso sem perdas basta calcular o módulo complexo resultante).
Passo 5
Simplificar a expressão para o módulo quando \gamma=\mathrm{j}\beta. Defina \theta=\beta l.
Para \gamma=\mathrm{j}\beta vale e^{\gamma l}=e^{\mathrm{j}\theta}=\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta e e^{-\gamma l}=e^{-\mathrm{j}\theta}=\cos\theta-\mathrm{j}\sin\theta.
Então o denominador ée^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}=(1+\Gamma_{L})\cos\theta+\mathrm{j}(1-\Gamma_{L})\sin\theta.
O módulo desse denominador é\bigl|e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}\bigr| =\sqrt{(1+\Gamma_{L})^{2}\cos^{2}\theta+(1-\Gamma_{L})^{2}\sin^{2}\theta}.
Portanto o módulo da tensão na carga é|V_{L}|=|V_{\text{in}}|\;\frac{|1+\Gamma_{L}|} {\sqrt{(1+\Gamma_{L})^{2}\cos^{2}\theta+(1-\Gamma_{L})^{2}\sin^{2}\theta}}.
Passo 6
Substituir valores numéricos e calcular \theta=\beta l, \cos\theta e \sin\theta.
Primeiro \beta=0{,}1\pi\\ \mathrm{m}^{-1} e l=42{,}5\\ \mathrm{m}, então\theta=\beta l=0{,}1\pi\times 42{,}5=13{,}3517687625\\ \text{(rad)}.
Note que 13{,}3517687625\\ \text{rad}=2\pi+\tfrac{\pi}{4} (praticamente), porque 2\pi\approx 12{,}566370614 e a diferença é \approx 0{,}7853981485\approx\tfrac{\pi}{4}. Assim\cos\theta=\cos\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
Calcular numericamente o módulo usando \Gamma_{L}=-\tfrac{1}{3}, \cos\theta=\sin\theta=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Calcule 1+\Gamma_{L} e 1-\Gamma_{L}:1+\Gamma_{L}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},\qquad 1-\Gamma_{L}=1-(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{4}{3}.
Substituindo em baixo (lembrando \cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}):(1+\Gamma_{L})^{2}\cos^{2}\theta+(1-\Gamma_{L})^{2}\sin^{2}\theta =\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}\tfrac{1}{2}+\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2}\tfrac{1}{2}.
Assim o módulo do denominador é \sqrt{\tfrac{10}{9}}=\tfrac{\sqrt{10}}{3}.
O numerador |1+\Gamma_{L}|=\tfrac{2}{3}.
Logo a razão (fator de atenuação entre entrada e carga) é\frac{|1+\Gamma_{L}|}{\bigl|e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}\bigr|} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{\sqrt{10}}{3}}=\frac{2}{\sqrt{10}}.
Passo 8
Calcular o valor numérico final da tensão eficaz na carga.
Multiplicando pelo valor de entrada:|V_{L}|=|V_{\text{in}}|\cdot\frac{2}{\sqrt{10}}.