2 - Uma linha de transmissão com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,1 \pi \mathrm{~m}^{-1} tem 42,5 \mathrm{~m} de comprimento e alimenta uma carga de 25 \Omega. A tensão eficaz na entrada da linha é 316,23 \mathrm{~V}_{r m s}. Calcular:
b) A tensão (valor eficaz) na carga.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Impedância característica da linha: \;Z_{0}=50\\ \Omega.
    • Constante de propagação: \;\gamma=\mathrm{j}\,0{,}1\pi\\ \mathrm{m}^{-1}. (Portanto a linha é ideal (sem perdas) e \gamma=\mathrm{j}\beta com \beta=0{,}1\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.)
    • Comprimento da linha: \;l=42{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Carga no fim da linha: \;Z_{L}=25\\ \Omega.
    • Tensão eficaz na entrada da linha: \;V_{\text{in,rms}}=316{,}23\\ \mathrm{V_{rms}}.
  • O que se pede:
    • (b) A tensão (valor eficaz) na carga, isto é, \;V_{L,\text{rms}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vou usar (explicando cada variável):
  • Em uma linha de transmissão sem perdas (onde \gamma=\mathrm{j}\beta), a solução de ondas via direções para as fasores de tensão e corrente é, tomando z=0 no ponto da carga e z negativo em direção à fonte: V(z)=V^{+}e^{-\gamma z}+V^{-}e^{\gamma z},
I(z)=\frac{1}{Z_{0}}\bigl(V^{+}e^{-\gamma z}-V^{-}e^{\gamma z}\bigr).
Aqui:
  • V^{+} é a amplitude da onda incidente (da fonte para a carga).
  • V^{-} é a amplitude da onda refletida (da carga para a fonte).
  • Z_{0} é a impedância característica.
  • \gamma=\mathrm{j}\beta com \beta número de ondas por metro.
  • A carga está em z=0 e a entrada (fonte) em z=-l.
  • Na carga ( z=0) a tensão e corrente são:
    V(0)=V^{+}+V^{-},\qquad I(0)=\frac{V^{+}-V^{-}}{Z_{0}}.
    A partir daí a equação da impedância da carga:
    Z_{L}=\frac{V(0)}{I(0)}=Z_{0}\,\frac{V^{+}+V^{-}}{V^{+}-V^{-}}.
  • Definimos o coeficiente de reflexão na carga:
    \Gamma_{L}=\frac{V^{-}}{V^{+}}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
    Esse número (potencialmente complexo) mede quanto da onda é refletido pela carga.

Passo 3

Calcular o coeficiente de reflexão \Gamma_{L} com os números dados.
  • Substituindo \;Z_{L}=25\\ \Omega e \;Z_{0}=50\\ \Omega: \Gamma_{L}=\frac{25-50}{25+50}=\frac{-25}{75}=-\tfrac{1}{3}.Ou seja \Gamma_{L}=-\tfrac{1}{3} (real e negativo).

Passo 4

Relacionar a tensão de entrada conhecida com V^{+} e V^{-}, e achar V_{L}=V(0) em função de V_{\text{in}}.
  • Tensão na entrada (em z=-l) é V_{\text{in}}=V(-l)=V^{+}e^{\gamma l}+V^{-}e^{-\gamma l} =V^{+}\bigl(e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}\bigr).Logo isolando V^{+}: V^{+}=\frac{V_{\text{in}}}{e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}}.
  • A tensão na carga (em z=0) é V_{L}=V(0)=V^{+}+V^{-}=V^{+}(1+\Gamma_{L}).Substituindo V^{+}: V_{L}=V_{\text{in}}\;\frac{1+\Gamma_{L}}{e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}}.Essa fórmula dá o fasor V_{L}. Como nos é pedido o valor eficaz (magnitude rms), vamos tomar o módulo (no caso sem perdas basta calcular o módulo complexo resultante).

Passo 5

Simplificar a expressão para o módulo quando \gamma=\mathrm{j}\beta. Defina \theta=\beta l.
  • Para \gamma=\mathrm{j}\beta vale e^{\gamma l}=e^{\mathrm{j}\theta}=\cos\theta+\mathrm{j}\sin\theta e e^{-\gamma l}=e^{-\mathrm{j}\theta}=\cos\theta-\mathrm{j}\sin\theta.
  • Então o denominador é e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}=(1+\Gamma_{L})\cos\theta+\mathrm{j}(1-\Gamma_{L})\sin\theta.
  • O módulo desse denominador é \bigl|e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}\bigr| =\sqrt{(1+\Gamma_{L})^{2}\cos^{2}\theta+(1-\Gamma_{L})^{2}\sin^{2}\theta}.
  • Portanto o módulo da tensão na carga é |V_{L}|=|V_{\text{in}}|\;\frac{|1+\Gamma_{L}|} {\sqrt{(1+\Gamma_{L})^{2}\cos^{2}\theta+(1-\Gamma_{L})^{2}\sin^{2}\theta}}.

Passo 6

Substituir valores numéricos e calcular \theta=\beta l, \cos\theta e \sin\theta.
  • Primeiro \beta=0{,}1\pi\\ \mathrm{m}^{-1} e l=42{,}5\\ \mathrm{m}, então \theta=\beta l=0{,}1\pi\times 42{,}5=13{,}3517687625\\ \text{(rad)}.
  • Note que 13{,}3517687625\\ \text{rad}=2\pi+\tfrac{\pi}{4} (praticamente), porque 2\pi\approx 12{,}566370614 e a diferença é \approx 0{,}7853981485\approx\tfrac{\pi}{4}. Assim \cos\theta=\cos\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=\cos\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
\sin\theta=\sin\Bigl(2\pi+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=\sin\frac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Calcular numericamente o módulo usando \Gamma_{L}=-\tfrac{1}{3}, \cos\theta=\sin\theta=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Calcule 1+\Gamma_{L} e 1-\Gamma_{L}: 1+\Gamma_{L}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},\qquad 1-\Gamma_{L}=1-(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{4}{3}.
  • Substituindo em baixo (lembrando \cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}): (1+\Gamma_{L})^{2}\cos^{2}\theta+(1-\Gamma_{L})^{2}\sin^{2}\theta =\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2}\tfrac{1}{2}+\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2}\tfrac{1}{2}.
=\tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{16}{9}\cdot\tfrac{1}{2} =\tfrac{4+16}{18}=\tfrac{20}{18}=\tfrac{10}{9}.
  • Assim o módulo do denominador é \sqrt{\tfrac{10}{9}}=\tfrac{\sqrt{10}}{3}.
  • O numerador |1+\Gamma_{L}|=\tfrac{2}{3}.
  • Logo a razão (fator de atenuação entre entrada e carga) é \frac{|1+\Gamma_{L}|}{\bigl|e^{\gamma l}+\Gamma_{L}e^{-\gamma l}\bigr|} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{\sqrt{10}}{3}}=\frac{2}{\sqrt{10}}.

Passo 8

Calcular o valor numérico final da tensão eficaz na carga.
  • Multiplicando pelo valor de entrada: |V_{L}|=|V_{\text{in}}|\cdot\frac{2}{\sqrt{10}}.
  • Substituindo |V_{\text{in}}|=316{,}23\\ \mathrm{V_{rms}}: |V_{L}|=316{,}23\times\frac{2}{\sqrt{10}}\approx 200{,}0\\ \mathrm{V_{rms}}.

Resposta

200\\ \mathrm{V_{rms}}

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