2 - Uma linha de transmissão com \mathrm{Z}_{0}=50 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,1 \pi \mathrm{~m}^{-1} tem 42,5 \mathrm{~m} de comprimento e alimenta uma carga de 25 \Omega. A tensão eficaz na entrada da linha é 316,23 \mathrm{~V}_{r m s}. Calcular:
a) A potência (ativa ou média) na entrada da linha;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Impedância característica: \;Z_{0}=50\\ \Omega.
    • Constante de propagação: \;\gamma=\mathrm{j}\,0,1\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.
      (Isto indica que a linha é sem perdas, então \gamma=\mathrm{j}\beta com \beta=0,1\pi\\ \mathrm{m}^{-1}.)
    • Comprimento da linha: \;l=42{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Carga no fim da linha: \;Z_{L}=25\\ \Omega.
    • Tensão eficaz aplicada na entrada da linha: \;V_{\mathrm{in,rms}}=316{,}23\\ \mathrm{V}.
  • O enunciado pede:
    • (a) A potência ativa (média) na entrada da linha.

Passo 2

Entender o que usar e calcular parâmetros intermediários importantes (explicação didática).
  • A linha é sem perdas porque \gamma é puramente imaginário ( \gamma=\mathrm{j}\beta). Em linha sem perdas a fórmula da impedância de entrada de uma linha de comprimento l é
Z_{\mathrm{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+\mathrm{j}Z_{0}\tan(\beta l)}{\,Z_{0}+\mathrm{j}Z_{L}\tan(\beta l)\,},
onde \beta é a constante de fase ( \beta=\mathrm{Im}\{\gamma\}), Z_{0} é a impedância característica, Z_{L} a carga, e \tan(\beta l) é a tangente do deslocamento de fase ao longo da linha.
  • Primeiro calculemos \beta l. Temos \beta=0{,}1\pi\\ \mathrm{m}^{-1} e l=42{,}5\\ \mathrm{m}, então
\beta l = 0{,}1\pi \times 42{,}5 = 4{,}25\pi.
Observação sobre periodicidade: a função \tan(x) tem período \pi, então
\tan(4{,}25\pi)=\tan(4\pi+0{,}25\pi)=\tan(0{,}25\pi)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
Portanto \tan(\beta l)=1. (Isto simplifica muito a expressão de Z_{\mathrm{in}}.)

Passo 3

Calcular a impedância de entrada passo a passo (arithmética complexa com explicação).
  • Substituindo \tan(\beta l)=1 na fórmula de Z_{\mathrm{in}}:
Z_{\mathrm{in}}=Z_{0}\,\frac{Z_{L}+\mathrm{j}Z_{0}}{Z_{0}+\mathrm{j}Z_{L}}.
  • Colocando os valores numéricos \;Z_{0}=50\\ \Omega e \;Z_{L}=25\\ \Omega:
Z_{\mathrm{in}}=50\cdot\frac{25+\mathrm{j}50}{50+\mathrm{j}25}.
Agora fazemos a divisão complexa \dfrac{25+\mathrm{j}50}{50+\mathrm{j}25}. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{25+\mathrm{j}50}{50+\mathrm{j}25}=\frac{(25+\mathrm{j}50)(50-\mathrm{j}25)}{50^{2}+25^{2}}.
  • Calcule o numerador:
    (25+\mathrm{j}50)(50-\mathrm{j}25)=25\cdot50 + 25\cdot(-\mathrm{j}25) + \mathrm{j}50\cdot50 + \mathrm{j}50\cdot(-\mathrm{j}25).
    Avaliando termos:
    • 25\cdot50=1250 (real),
    • 25\cdot(-\mathrm{j}25)=-\mathrm{j}625,
    • \mathrm{j}50\cdot50=\mathrm{j}2500,
    • \mathrm{j}50\cdot(-\mathrm{j}25) = -\mathrm{j}^{2}1250 = +1250 (real).
      Somando reais: 1250+1250=2500. Somando imaginários: -\mathrm{j}625+\mathrm{j}2500=\mathrm{j}1875.
      Logo o numerador é 2500+\mathrm{j}1875.
  • Denominador: 50^{2}+25^{2}=2500+625=3125.
  • Então a divisão dá
\frac{25+\mathrm{j}50}{50+\mathrm{j}25}=\frac{2500+\mathrm{j}1875}{3125}=0{,}8+\mathrm{j}0{,}6.
  • Multiplicando por 50:
Z_{\mathrm{in}}=50\cdot(0{,}8+\mathrm{j}0{,}6)=40+\mathrm{j}30\\ \Omega.
Portanto a impedância de entrada tem parte real R_{\mathrm{in}}=40\\ \Omega e reatância X_{\mathrm{in}}=30\\ \Omega. (Isto representa uma impedância com componente resistiva, então existe potência média absorvida na entrada.)

Passo 4

Derivar a expressão da potência média absorvida pela entrada e aplicar números (aula rápida e passo a passo).
  • Raciocínio físico e fórmula: se a tensão eficaz (RMS) na entrada é \;V_{\mathrm{in,rms}} e a impedância vista na entrada é Z_{\mathrm{in}}=R_{\mathrm{in}}+\mathrm{j}X_{\mathrm{in}}, a corrente eficaz é
I_{\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{in,rms}}}{Z_{\mathrm{in}}}.
O valor complexo de potência aparente é
S=V_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}^{*}=\frac{V_{\mathrm{rms}}^{2}}{Z_{\mathrm{in}}^{*}},
onde o asterisco (\cdot)^{*} indica conjugado complexo. A potência ativa (média) é a parte real de S:
P=\operatorname{Re}\{S\}=\operatorname{Re}\!\left\{\frac{V_{\mathrm{rms}}^{2}}{Z_{\mathrm{in}}^{*}}\right\}.
  • Para cálculo prático, se Z_{\mathrm{in}}=R+\mathrm{j}X então Z_{\mathrm{in}}^{*}=R-\mathrm{j}X e
\frac{1}{Z_{\mathrm{in}}^{*}}=\frac{R+\mathrm{j}X}{R^{2}+X^{2}},
de onde a parte real é \dfrac{R}{R^{2}+X^{2}}. Assim
P=V_{\mathrm{rms}}^{2}\,\frac{R}{R^{2}+X^{2}}.
Essa fórmula é prática: a potência média depende da tensão ao quadrado multiplicada pela fração resistiva R/(R^{2}+X^{2}).
  • Agora substituímos os valores numéricos que encontramos: V_{\mathrm{rms}}=316{,}23\\ \mathrm{V}, R=40\\ \Omega, X=30\\ \Omega.
    • Primeiro calcule |Z_{\mathrm{in}}|^{2}=R^{2}+X^{2}=40^{2}+30^{2}=1600+900=2500.
    • A fração resistiva é R/(R^{2}+X^{2})=40/2500=0{,}016.
    • O quadrado da tensão eficaz é (316{,}23)^{2}. Note que 316{,}2277\ldots é \sqrt{100000}, então 316{,}23^{2}\approx100000\\ \mathrm{V}^{2}. (Usar esse arredondamento é padrão e suficiente aqui.)
  • Multiplicando:
P=100000\times0{,}016.

Passo 5

Cálculo final (resultado preparado para ser conferido na seção de resposta).
  • Efetuando a multiplicação do passo anterior obtém-se o valor numérico da potência média absorvida na entrada.

Resposta

1600\\ \mathrm{W}

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