2 - Uma linha de transmissão com
e
tem
de comprimento e alimenta uma carga de
. A tensão eficaz na entrada da linha é
. Calcular:
a) A potência (ativa ou média) na entrada da linha;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- Impedância característica:
. - Constante de propagação:
.
(Isto indica que a linha é sem perdas, entãocom .) - Comprimento da linha:
. - Carga no fim da linha:
. - Tensão eficaz aplicada na entrada da linha:
.
- Impedância característica:
-
O enunciado pede:
- (a) A potência ativa (média) na entrada da linha.
Passo 2
Entender o que usar e calcular parâmetros intermediários importantes (explicação didática).
- A linha é sem perdas porque
é puramente imaginário ( ). Em linha sem perdas a fórmula da impedância de entrada de uma linha de comprimento é
onde
é a constante de fase (
),
é a impedância característica,
a carga, e
é a tangente do deslocamento de fase ao longo da linha.
- Primeiro calculemos
. Temos e , então
Observação sobre periodicidade: a função
tem período
, então
Portanto
. (Isto simplifica muito a expressão de
.)
Passo 3
Calcular a impedância de entrada passo a passo (arithmética complexa com explicação).
- Substituindo
na fórmula de :
- Colocando os valores numéricos
e :
Agora fazemos a divisão complexa
. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
-
Calcule o numerador:
.
Avaliando termos:-
(real), -
, -
, -
(real).
Somando reais:. Somando imaginários: .
Logo o numerador é.
-
-
Denominador:
. -
Então a divisão dá
- Multiplicando por
:
Portanto a impedância de entrada tem parte real
e reatância
. (Isto representa uma impedância com componente resistiva, então existe potência média absorvida na entrada.)
Passo 4
Derivar a expressão da potência média absorvida pela entrada e aplicar números (aula rápida e passo a passo).
- Raciocínio físico e fórmula: se a tensão eficaz (RMS) na entrada é
e a impedância vista na entrada é , a corrente eficaz é
O valor complexo de potência aparente é
onde o asterisco
indica conjugado complexo. A potência ativa (média) é a parte real de
:
- Para cálculo prático, se
então e
de onde a parte real é
. Assim
Essa fórmula é prática: a potência média depende da tensão ao quadrado multiplicada pela fração resistiva
.
-
Agora substituímos os valores numéricos que encontramos:
, , . - Primeiro calcule
. - A fração resistiva é
. - O quadrado da tensão eficaz é
. Note que é , então . (Usar esse arredondamento é padrão e suficiente aqui.)
- Primeiro calcule
-
Multiplicando:
Passo 5
Cálculo final (resultado preparado para ser conferido na seção de resposta).
- Efetuando a multiplicação do passo anterior obtém-se o valor numérico da potência média absorvida na entrada.