Uma linha de transmissão trifásica, 60 Hz , tem comprimento de
( 175 milhas), impedância série total de
e admitância shunt total de
. A LT entrega 40 MW em 220 kV com fator de potência de
em atraso. Determinar a tensão no lado do envio por aproximação: (a) de linha curta; (b) do modelo
-nominal e (c) da equação de linha longa.
Passo 1
O enunciado pede a tensão no lado do envio (sending-end) usando três aproximações diferentes: (a) linha curta, (b) modelo
-nominal e (c) equações de linha longa. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
O que é pedido:
(a) pelo modelo de linha curta; (b)
pelo modelo
-nominal; (c)
pela equação de linha longa (ABCD distribuídos). Vou calcular tudo por fase e depois dar a tensão linha a linha no envio.
(a)
Passo 2
Primeiro vou transformar os dados de potência/tensão em termos por fase e obter a corrente de carga por fase. Isso é essencial e é a mesma base para os três modelos.
- Tensão por fase (fase-neutro) no receptor:
- Ângulo de fase da corrente (posição do fator de potência):
Como é fator em atraso, a corrente está atrasada em relação à tensão, logo
tem ângulo
.
- Potência reativa total:
- Potência complexa total trifásica:
- Corrente de linha (trifásica) em valor eficaz:
Fórmula prática:, mas para a direção do fasor usamos a relação por fase
onde
e o asterisco indica conjugado (isso garante o sinal correto do ângulo da corrente).
Calcule
:
Agora o conjugado e divisão por
:
Verificações rápidas:
o que bate com a ideia do
em atraso.
Agora tenho
e
por fase prontos para usar nos modelos.
Passo 3
Modelo de linha curta (apenas impedância série). Justificativa rápida e fórmula:
- Para linha curta consideramos a admitância shunt desprezível; a queda de tensão é só
vezes a corrente de carga. - Fórmula por fase:
Cálculo do produto
:
Multiplicando (mostro passo a passo):
Somando a
(real, referência):
Módulo e ângulo por fase:
Transformando para linha-a-linha:
com ângulo aproximadamente
.
(Comentário rápido: esse valor é bem maior do que
porque aqui ignoramos a capacitância distribuída — em linhas longas isso é importante.)
Passo 4
Modelo
-nominal (admitância total concentrada em duas metades nas extremidades). Procedimento:
- Admitância total por fase
. - Cada extremidade tem
. - A corrente de carregamento (metade no lado da carga) é
. - A corrente que atravessa a impedância série é
. - Então
.
Cálculo numérico:
Agora
:
Faço a multiplicação:
Somando a
:
Módulo e ângulo por fase:
Transformando para linha-a-linha:
ângulo aproximadamente
.
(Interpretação rápida: a capacitância shunt reduz a corrente efetiva na série, diminuindo a queda — por isso o resultado fica bem menor que o do modelo de linha curta.)
Passo 5
Linha longa (modelo distribuído, uso dos parâmetros ABCD). Aqui eu explico a teoria e aplico:
Teoria essencial:
- Para uma linha uniforme distribuída, definimos
e
Os parâmetros ABCD (para a linha inteira) são:
Relação entre as extremidades:
e a fórmula que precisamos é
Cálculo numérico (passo a passo):
- Produto
:
-
. Faço em forma polar: módulo , argumento . Metade do ângulo é . Raiz do módulo . Então
-
. Computando dá aproximadamente . A raiz quadrada dessa quantidade resulta em
-
e :
Paracom muito pequeno:
- Então
(Observe que
tem uma parte imaginária grande, próxima do
do
total — isso é esperado.)
- Agora calcule
e :
-
-
com :
- Soma:
Módulo e ângulo por fase:
Linha-a-linha:
ângulo aproximadamente
.
Passo 6
Resumo interpretativo (rápido, para fixar):
- A diferença grande entre o modelo de linha curta e os modelos que consideram shunt aparece porque a linha tem comprimento grande: a admitância capacitiva (shunt) é importante e reduz a corrente série real/reativa, portanto reduz a queda de tensão. O modelo
aproxima bem a linha longa quando a admitância é dividida em duas metades; a solução exata da linha longa (ABCD distribuídos) dá um valor muito próximo ao do para este problema (ver números abaixo). Isso é normal e mostra que para linhas longas devemos usar ou a fórmula longa — não a linha curta.
Resposta
(a)
com
.\n
(b) com
.\n
(c) com
.
(b)
(c)