Uma linha de transmissão trifásica de 482,3 \mathrm{~km} ( 300 milhas) alimenta uma carga de 400 MVA de fator de potência de 0,8 (atraso) em 345 kV . As constantes da LT são:
\begin{gathered} A=D=0,8180 \angle 1,3^{o} \\\ B=172,2 \angle 84,2^{o} \Omega \\\ C=0,001933 \angle 90,4^{o} S \end{gathered}
(a) Determinar a tensão e a corrente no lado do envio; e a queda de tensão percentual em carga nominal;
(b) Determinar a tensão e a corrente no lado do envio com a LT a vazio; e a regulação de tensão da LT.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. (a) Com a carga conectada (carga nominal): determinar a tensão e a corrente no lado do envio e a queda de tensão percentual.
  2. (b) Com a linha à vazio: determinar a tensão e a corrente no lado do envio e a regulação de tensão da linha.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{Extensão: }482{,}3\\ \mathrm{km}\\ (\text{300 milhas})\quad(\text{já incorporada nas constantes})\\\ &\text{Carga: }S_{\text{total}}=400\\ \mathrm{MVA},\\ \text{fator de potência }0{,}8\\ (\text{atraso})\\\ &\text{Tensão no lado de carga: }V_{LL,r}=345\\ \mathrm{kV}\\\ &\text{Constantes (para a linha inteira, por fase):}\\\ &\quad A=D=0{,}8180\angle 1{,}3^\circ\\\ &\quad B=172{,}2\angle 84{,}2^\circ\\ \Omega\\\ &\quad C=0{,}001933\angle 90{,}4^\circ\\ \mathrm{S} \end{aligned}ãáêã
Observações importantes que vou usar na resolução sem perguntar nada:
  • Vou trabalhar por fase (representação por fase): V_r será a tensão fase-neutro no receptor e I_r a corrente de fase no receptor.
  • Relações do circuito em parâmetros ABCD (modelo de duas portas por fase) são:
\begin{aligned} V_s &= A\,V_r + B\,I_r,\\[4pt] I_s &= C\,V_r + D\,I_r. \end{aligned}
  • Potência trifásica está relacionada por fase como \;S_{\text{phase}} = \dfrac{S_{\text{total}}}{3}\; e a relação fasorial é \;S_{\text{phase}} = V_{\text{phase}} I_{\text{phase}}^*\;.
A partir daqui eu começo a resolver e a ensinar passo a passo como calcular cada coisa.]

Passo 2

Converter tensões e potência para grandezas por fase e obter a corrente de carga no extremo receptor (lado de carga).
  1. Tensão fase no receptor (fase-neutro):
V_r = \dfrac{V_{LL,r}}{\sqrt{3}} = \dfrac{345\,000}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
Vou manter o valor numérico: \sqrt{3}\approx 1{,}73205, então
V_r \approx 199\,238\\ \mathrm{V}\quad(\text{definida como referência de ângulo }0^\circ).êâ
  1. Potência por fase:
S_{\text{phase}}=\dfrac{400\times10^{6}}{3}=133\,\!333\,333{,}33\\ \mathrm{VA}.
Como o fator de potência é 0{,}8 atrasado, o ângulo de potência é \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}8)=36{,}8699^\circ. A componente complexa por fase é
S_{\text{phase}}=133\,333\,333{,}33\angle 36{,}8699^\circ = (106\,666\,666{,}67 + j\,80\,000\,000)\\ \mathrm{VA}.
  1. Corrente de fase no receptor I_r.
    Usamos \;S_{\text{phase}} = V_r I_r^*\;\Rightarrow\; I_r = \dfrac{S_{\text{phase}}^*}{V_r}.
    Como S_{\text{phase}} = P + jQ, tem-se S_{\text{phase}}^* = P - jQ. Logo
I_r = \dfrac{106\,666\,666{,}67 - j\,80\,000\,000}{199\,238}\\ \mathrm{A}.
Fazendo as divisões por partes:
I_r \approx 535{,}67 - j\,401{,}60\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_r|\approx 669{,}51\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_r \approx -36{,}87^\circ.
(Interpretação: corrente de fase no receptor é 669{,}51\angle -36{,}87^\circ\\ \mathrm{A}.)

Passo 3

Transformar as constantes A,B,C,D para forma retangular (para multiplicações) e calcular A V_r e B I_r separadamente.
  1. Converter:
\begin{aligned} A&=0{,}8180\angle 1{,}3^\circ = 0{,}817798 + j\,0{,}018559,\\[4pt] B&=172{,}2\angle 84{,}2^\circ \approx 17{,}123 + j\,171{,}257\\ \Omega,\\[4pt] C&=0{,}001933\angle 90{,}4^\circ \approx -0{,}000013486 + j\,0{,}00193291\\ \mathrm{S},\\[4pt] D&=A\\ (\text{mesmo valor}). \end{aligned}
  1. Calcular A\,V_r (tensão “modificada” pela matriz):
A\,V_r = (0{,}817798 + j\,0{,}018559)\times 199\,238 \approx 162\,931{,}9 + j\,3\,695{,}2\\ \mathrm{V}.
  1. Calcular B\,I_r (queda ao longo da linha devido à impedância equivalente B):
    Usei I_r = 535{,}673 - j\,401{,}60\\ \mathrm{A} (arredondado às casas razoáveis).
B\,I_r \approx (17{,}123 + j\,171{,}257)\cdot(535{,}673 - j\,401{,}60) \approx 77\,956{,}1 + j\,84\,862{,}9\\ \mathrm{V}.]

Passo 4

Calcular a tensão no lado do envio com carga conectada (parte (a)).
Somando os termos:
V_s = A V_r + B I_r \approx (162\,931{,}9 + j\,3\,695{,}2) + (77\,956{,}1 + j\,84\,862{,}9).
V_s \approx 240\,888{,}0 + j\,88\,558{,}1\\ \mathrm{V}\quad(\text{por fase}).
Magnitude e ângulo por fase:
|V_s| \approx 256\,577\\ \mathrm{V},\qquad \angle V_s \approx 20{,}20^\circ.
Tensão linha a linha no envio:
V_{LL,s}=\sqrt{3}\,|V_s|\approx 1{,}73205\times 256\,577 \approx 444\,462\\ \mathrm{V}=444{,}46\\ \mathrm{kV},
com o mesmo ângulo de fase relativo ao V_r.

Passo 5

Calcular a corrente no lado do envio com carga conectada.
Usamos I_s = C V_r + D I_r.
  1. Primeiro termo (corrente de shunt devido a C):
C V_r \approx (-0{,}000013486 + j\,0{,}00193291)\times 199\,238 \approx -2{,}686 + j\,385{,}069\\ \mathrm{A}.
  1. Segundo termo:
D I_r = A I_r \approx 0{,}8180\angle 1{,}3^\circ \cdot 669{,}51\angle -36{,}87^\circ \approx 547{,}55\angle -35{,}57^\circ \approx 445{,}507 - j\,318{,}865\\ \mathrm{A}.
  1. Soma:
I_s \approx (445{,}507 - j\,318{,}865) + (-2{,}686 + j\,385{,}069) \approx 442{,}821 + j\,66{,}204\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|I_s|\approx 447{,}75\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_s\approx 8{,}54^\circ.
(Observação: essa é a corrente de fase no envio; a corrente de linha em trifásico é igual à corrente de fase.)

Passo 6

Calcular a queda de tensão percentual em carga nominal (parte da questão (a)).
Primeiro explico duas fórmulas possíveis de interpretação (vou calcular as duas e deixar claro qual usei):
  • Queda percentual relativa ao envio:
\text{Queda\% (rel. a }V_s\text{)}=\dfrac{|V_s|-|V_r|}{|V_s|}\times 100\%.
  • Queda percentual relativa ao receptor:
\text{Queda\% (rel. a }V_r\text{)}=\dfrac{|V_s|-|V_r|}{|V_r|}\times 100\%.
Usando os valores por fase (ou equivalente linha a linha, a percentagem é a mesma):
|V_s|_{\text{fase}}\approx 256{,}577\\ \mathrm{V},\qquad |V_r|_{\text{fase}}\approx 199{,}238\\ \mathrm{V}.
Calculando:
\text{Queda\% (rel. a }V_s) \approx \dfrac{256{,}577-199{,}238}{256{,}577}\times 100\%\approx 22{,}36\%.
\text{Queda\% (rel. a }V_r) \approx \dfrac{256{,}577-199{,}238}{199{,}238}\times 100\%\approx 28{,}90\%.
Ambas as formas são úteis; eu deixei as duas para você verificar qual é a convenção que o seu curso usa. (Muitos livros usam a segunda para “queda relativa à tensão nominal no receptor”.)

Passo 7

Agora parte (b): cálculo com a linha à vazio (I_r = 0) e regulação de tensão.
  1. Com carga aberta ( I_r=0) a relação V_s = A V_r + B I_r vira simplesmente
V_s^{\text{(vazio)}} = A V_r.
Já calculamos A V_r no Passo 3:
V_s^{\text{(vazio)}} \approx 162\,931{,}9 + j\,3\,695{,}2\\ \mathrm{V}\quad(\text{por fase}),
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|V_s^{\text{(vazio)}}| \approx |A|\,|V_r| = 0{,}8180\times 199\,238 \approx 162{,}999\\ \mathrm{V\\ (fase)}.
Tensão linha a linha no envio sem carga:
V_{LL,s}^{\text{(vazio)}}=\sqrt{3}\times 162{,}999 \approx 282{,}23\\ \mathrm{kV}.
Ângulo: \angle V_s^{\text{(vazio)}}=1{,}3^\circ (porque A tem esse ângulo).
  1. Corrente no envio com linha à vazio:
I_s^{\text{(vazio)}} = C V_r + D\cdot 0 = C V_r.
Já calculado:
I_s^{\text{(vazio)}} \approx -2{,}686 + j\,385{,}069\\ \mathrm{A},
|I_s^{\text{(vazio)}}|\approx 385{,}11\\ \mathrm{A},\qquad \angle I_s^{\text{(vazio)}} \approx 90{,}4^\circ.
(Isto é a corrente de carregamento ou corrente de admissão da linha.)
  1. Regulação de tensão da linha.
    Definição que vou usar (convencional para “regulação” quando V_r é mantida constante e se calcula variação necessária no lado de envio entre vazio e carga nominal):
\text{Regulação} = \dfrac{|V_s^{\text{(vazio)}}| - |V_s^{\text{(carga)}}|}{|V_s^{\text{(carga)}}|}\times 100\%.çã
Substituindo:
\text{Regulação}\approx \dfrac{162{,}999 - 256{,}577}{256{,}577}\times 100\%\approx -36{,}48\%.çã
Interpretação: o valor é negativo, o que significa que a tensão de envio necessária sem carga é menor que a tensão de envio necessária em carga — isto é, sob as condições dadas a linha apresenta aumento de tensão quando carga é aplicada (efeito devido às características de A,B,C,D e à componente de carga reativa). Em outras palavras, a linha “sobe” de tensão ao ser carregada neste caso (regulação negativa).

Resposta

(a) V_{s,\text{fase}}\approx 256{,}577\angle 20{,}20^\circ\\ \mathrm{V}, então V_{LL,s}\approx 444{,}46\\ \mathrm{kV}\angle 20{,}20^\circ.\n
(a) I_{s,\text{fase}}\approx 447{,}75\angle 8{,}54^\circ\\ \mathrm{A}.\n
(a) Queda de tensão percentual: relativa a V_s: \approx 22{,}36\%; relativa a V_r: \approx 28{,}90\%.\n
(b) Com a linha à vazio: V_{s,\text{fase}}^{\text{(vazio)}}\approx 162{,}999\angle 1{,}3^\circ\\ \mathrm{V}, então V_{LL,s}^{\text{(vazio)}}\approx 282{,}23\\ \mathrm{kV}\angle 1{,}3^\circ.\n
(b) I_{s,\text{fase}}^{\text{(vazio)}}\approx 385{,}11\angle 90{,}4^\circ\\ \mathrm{A}.\n
(b) Regulação da LT \approx -36{,}48\% (regulação negativa: tensão de envio sem carga é menor que a tensão de envio em carga).

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