1 - Uma linha de transmissão é usada para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}. A frequência de operação é de 1 MHz e a linha tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=40 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mathrm{R}=0,1 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=1 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m} e \mathrm{C}=400 \mathrm{pF} / \mathrm{m}.
(1,0) c) Sabendo-se que a onda que se propaga do transmissor para a carga (antena) tem amplitude de 60 V , obter a faixa de valores para a impedância da antena \left(\mathrm{Z}_{\mathrm{Lm} \text { ń }} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L} \text { máx }}\right)ńá de modo que a tensão máxima na linha não seia maior que 80 V :

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do problema (todos extraídos do enunciado):
    • frequência: \,f=1{,}0\\ \mathrm{MHz}.
    • parâmetros da linha por metro:
      • \,R=0{,}1\\ \Omega/\mathrm{m},
      • \,L=1\\ \mu\mathrm{H}/\mathrm{m}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m},
      • \,G=40\\ \mu\mathrm{S}/\mathrm{m}=40\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m},
      • \,C=400\\ \mathrm{pF}/\mathrm{m}=400\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
    • amplitude da onda que vai do transmissor para a carga (onda incidente): \,V^{+}=60\\ \mathrm{V}.
    • condição exigida: a tensão máxima na linha deve ser \le 80\\ \mathrm{V}.
  • O que o enunciado pede:
    • determinar a faixa de valores da impedância da antena \,Z_{L} tal que a tensão máxima ao longo da linha não exceda 80\\ \mathrm{V}. Ou seja, encontrar \,Z_{L\min} e \,Z_{L\max}.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicando com calma).
  • Ondas em linha: no regime estacionário harmônico a tensão ao longo da linha é soma da onda incidente e da refletida:
    • definir \,V^{+} como amplitude da onda incidente (dirigida ao longo da linha em direção à carga),
    • definir \,V^{-} como amplitude da onda refletida (vinda da carga para a fonte).
  • Coeficiente de reflexão na carga: \Gamma=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}},onde \,Z_{0} é a impedância característica da linha (pode ser complexa em geral) e \,Z_{L} é a impedância da carga (antena).
  • Relação entre ondas: \,V^{-}=\Gamma V^{+}. Portanto a amplitude da onda refletida é |\Gamma|\,V^{+}.

Passo 3

Como se obtém a tensão máxima ao longo da linha (algo que cai direto na prova).
  • A tensão total (amplitude) numa posição onde as ondas se somam em fase é V_{\max}=V^{+}+|V^{-}|=V^{+}\bigl(1+|\Gamma|\bigr).Explicação curta: o valor máximo da soma fásica da onda incidente e da refletida ocorre quando ambas têm mesmo ângulo de fase; então os módulos somam, dando V^{+}+|V^{-}|. Como |V^{-}|=|\Gamma|V^{+}, obtemos a fórmula acima.
  • Queremos V_{\max}\le 80\\ \mathrm{V}. Substituindo V^{+}=60\\ \mathrm{V}: 60\bigl(1+|\Gamma|\bigr)\le 80.Isolando |\Gamma|: 1+|\Gamma|\le \frac{80}{60}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad |\Gamma|\le \frac{1}{3}.Ou seja: a magnitude do coeficiente de reflexão na carga precisa ser no máximo 1/3.

Passo 4

Calcular a impedância característica \,Z_{0} da linha usando os parâmetros fornecidos.
  • Fórmula geral (linha com perdas): Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}},onde \,\omega=2\pi f.
  • Calcular \omega: \omega=2\pi f=2\pi\cdot1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}\approx 6{,}283185\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular os termos dominantes (mostrando que R e G são muito pequenos frente às reatâncias/condutâncias ôhmicas a essa frequência): j\omega L \approx j\cdot(6{,}283185\times10^{6})\cdot(1\times10^{-6})=j\cdot6{,}283185\\ \Omega/\mathrm{m},e j\omega C \approx j\cdot(6{,}283185\times10^{6})\cdot(400\times10^{-12})=j\cdot2{,}513274\times10^{-3}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.Compare com R=0{,}1\\ \Omega/\mathrm{m} e G=40\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}: nota-se que R\ll\omega L e G\ll\omega C. Portanto podemos aproximar Z_{0}\approx\sqrt{\frac{j\omega L}{\,j\omega C\,}}=\sqrt{\frac{\omega L}{\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}.(a cancelamento do j é porque ambos numerador e denominador têm o mesmo fator j\omega dominante).
  • Calcule \sqrt{L/C}: \frac{L}{C}=\frac{1\times10^{-6}}{400\times10^{-12}}=\frac{1\times10^{-6}}{4\times10^{-10}}=\frac{1}{4}\times10^{4}=2500,então Z_{0}\approx\sqrt{2500}=50\\ \Omega.Conclusão: a impedância característica vale aproximadamente \,Z_{0}=50\\ \Omega (valor típico de cabos coaxiais).

Passo 5

Aplicar a condição |\Gamma|\le 1/3 à fórmula de \Gamma para obter a faixa de \,Z_{L}. Aqui vou supor que a antena pode ser modelada por uma impedância real positiva (caso mais comum pedido em prova). Assim Z_{L} e Z_{0} são reais positivos, e
|\Gamma|=\left|\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}\right|=\frac{|Z_{L}-Z_{0}|}{Z_{L}+Z_{0}}.
Impor \frac{|Z_{L}-Z_{0}|}{Z_{L}+Z_{0}}\le \frac{1}{3}. Resolver essa desigualdade por casos.
  • Caso A: Z_{L}\ge Z_{0}. Então |Z_{L}-Z_{0}|=Z_{L}-Z_{0} e
    \frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}\le \frac{1}{3}.
    Multiplicando ambos os lados por 3(Z_{L}+Z_{0})>0:
    3Z_{L}-3Z_{0}\le Z_{L}+Z_{0}\quad\Rightarrow\quad 2Z_{L}\le 4Z_{0}\quad\Rightarrow\quad Z_{L}\le 2Z_{0}.
    Com a hipótese Z_{L}\ge Z_{0}, obtemos Z_{0}\le Z_{L}\le 2Z_{0}.
  • Caso B: Z_{L}\le Z_{0}. Então |Z_{L}-Z_{0}|=Z_{0}-Z_{L} e
    \frac{Z_{0}-Z_{L}}{Z_{L}+Z_{0}}\le \frac{1}{3}.
    Multiplicando por 3(Z_{L}+Z_{0})>0:
    3Z_{0}-3Z_{L}\le Z_{L}+Z_{0}\quad\Rightarrow\quad 2Z_{0}\le 4Z_{L}\quad\Rightarrow\quad Z_{L}\ge \tfrac{1}{2}Z_{0}.
    Com a hipótese Z_{L}\le Z_{0}, obtemos \tfrac{1}{2}Z_{0}\le Z_{L}\le Z_{0}.
  • Combinando os dois casos:
    \frac{1}{2}Z_{0}\le Z_{L}\le 2Z_{0}.

Passo 6

Substituir o valor numérico de Z_{0} obtido no Passo 4.
  • Como \,Z_{0}\approx50\\ \Omega, a condição fica: \frac{1}{2}\cdot50\\ \Omega \le Z_{L}\le 2\cdot50\\ \Omega,ou seja 25\\ \Omega \le Z_{L}\le 100\\ \Omega.

Resposta

25\\ \Omega \le Z_{L}\le 100\\ \Omega

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