1 - Uma linha de transmissão é usada para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}. A frequência de operação é de 1 MHz e a linha tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=40 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mathrm{R}=0,1 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=1 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m} e \mathrm{C}=400 \mathrm{pF} / \mathrm{m}.
(1,0) c) Sabendo-se que a onda que se propaga do transmissor para a carga (antena) tem amplitude de 60 V , obter a faixa de valores para a impedância da antena \left(\mathrm{Z}_{\mathrm{Lm} \text { ń }} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L}} \leq \mathrm{Z}_{\mathrm{L} \text { máx }}\right) de modo que a tensão máxima na linha não seia maior que 80 V :
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
amplitude da onda que vai do transmissor para a carga (onda incidente): \,V^{+}=60\\ \mathrm{V}.
condição exigida: a tensão máxima na linha deve ser \le 80\\ \mathrm{V}.
O que o enunciado pede:
determinar a faixa de valores da impedância da antena \,Z_{L} tal que a tensão máxima ao longo da linha não exceda 80\\ \mathrm{V}. Ou seja, encontrar \,Z_{L\min} e \,Z_{L\max}.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicando com calma).
Ondas em linha: no regime estacionário harmônico a tensão ao longo da linha é soma da onda incidente e da refletida:
definir \,V^{+} como amplitude da onda incidente (dirigida ao longo da linha em direção à carga),
definir \,V^{-} como amplitude da onda refletida (vinda da carga para a fonte).
Coeficiente de reflexão na carga:\Gamma=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}},onde \,Z_{0} é a impedância característica da linha (pode ser complexa em geral) e \,Z_{L} é a impedância da carga (antena).
Relação entre ondas: \,V^{-}=\Gamma V^{+}. Portanto a amplitude da onda refletida é |\Gamma|\,V^{+}.
Passo 3
Como se obtém a tensão máxima ao longo da linha (algo que cai direto na prova).
A tensão total (amplitude) numa posição onde as ondas se somam em fase éV_{\max}=V^{+}+|V^{-}|=V^{+}\bigl(1+|\Gamma|\bigr).Explicação curta: o valor máximo da soma fásica da onda incidente e da refletida ocorre quando ambas têm mesmo ângulo de fase; então os módulos somam, dando V^{+}+|V^{-}|. Como |V^{-}|=|\Gamma|V^{+}, obtemos a fórmula acima.
Queremos V_{\max}\le 80\\ \mathrm{V}. Substituindo V^{+}=60\\ \mathrm{V}:60\bigl(1+|\Gamma|\bigr)\le 80.Isolando |\Gamma|:1+|\Gamma|\le \frac{80}{60}=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad |\Gamma|\le \frac{1}{3}.Ou seja: a magnitude do coeficiente de reflexão na carga precisa ser no máximo 1/3.
Passo 4
Calcular a impedância característica \,Z_{0} da linha usando os parâmetros fornecidos.
Fórmula geral (linha com perdas):Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}},onde \,\omega=2\pi f.
Calcular os termos dominantes (mostrando que R e G são muito pequenos frente às reatâncias/condutâncias ôhmicas a essa frequência):j\omega L \approx j\cdot(6{,}283185\times10^{6})\cdot(1\times10^{-6})=j\cdot6{,}283185\\ \Omega/\mathrm{m},ej\omega C \approx j\cdot(6{,}283185\times10^{6})\cdot(400\times10^{-12})=j\cdot2{,}513274\times10^{-3}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.Compare com R=0{,}1\\ \Omega/\mathrm{m} e G=40\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}: nota-se que R\ll\omega L e G\ll\omega C. Portanto podemos aproximarZ_{0}\approx\sqrt{\frac{j\omega L}{\,j\omega C\,}}=\sqrt{\frac{\omega L}{\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}.(a cancelamento do j é porque ambos numerador e denominador têm o mesmo fator j\omega dominante).
Calcule \sqrt{L/C}:\frac{L}{C}=\frac{1\times10^{-6}}{400\times10^{-12}}=\frac{1\times10^{-6}}{4\times10^{-10}}=\frac{1}{4}\times10^{4}=2500,entãoZ_{0}\approx\sqrt{2500}=50\\ \Omega.Conclusão: a impedância característica vale aproximadamente \,Z_{0}=50\\ \Omega (valor típico de cabos coaxiais).
Passo 5
Aplicar a condição |\Gamma|\le 1/3 à fórmula de \Gamma para obter a faixa de \,Z_{L}. Aqui vou supor que a antena pode ser modelada por uma impedância real positiva (caso mais comum pedido em prova). Assim Z_{L} e Z_{0} são reais positivos, e