1 - Uma linha de transmissão é usada para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}. A frequência de operação é de 1 MHz e a linha tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=40 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mathrm{R}=0,1 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=1 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m} e \mathrm{C}=400 \mathrm{pF} / \mathrm{m}.
(1,0) a) Se \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=75 \Omega, calcular a percentagem da potência incidente que é refletida na carga;

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar todos claramente):
  • Frequência de operação: f=1\\ \text{MHz}.
  • Parâmetros por metro da linha:
    • R=0{,}1\\ \Omega/\text{m},
    • L=1\\ \mu\text{H}/\text{m}=1\times10^{-6}\\ \text{H}/\text{m},
    • G=40\\ \mu\text{S}/\text{m}=40\times10^{-6}\\ \text{S}/\text{m},
    • C=400\\ \text{pF}/\text{m}=400\times10^{-12}\\ \text{F}/\text{m}.
  • Impedância de carga (antena): \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=75\\ \Omega.
O que o problema pede:
  • Calcular a percentagem da potência incidente que é refletida na carga (ou seja, a fração da potência refletida multiplicada por 100\%).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • A impedância característica de uma linha de transmissão genérica (lossy) é dada por
Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}},
onde:
  • R é resistência por unidade de comprimento ( \Omega/\text{m}),
  • L é indutância por unidade de comprimento ( \text{H}/\text{m}),
  • G é condutância por unidade de comprimento ( \text{S}/\text{m}),
  • C é capacitância por unidade de comprimento ( \text{F}/\text{m}),
  • \omega=2\pi f é a pulsação angular (rad/s),
  • j é a unidade imaginária.
    Essa fórmula aparece da solução das equações de onda para linhas com perdas. Se R e G fossem zero, reduz-se ao caso lossless Z_0=\sqrt{L/C}.
  • O coeficiente de reflexão na carga é
\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}.
Isso mede a fração (complexa) da amplitude da tensão incidente que é refletida pela descontinuidade Z_L.
  • A potência refletida em relação à potência incidente (fração) é |\Gamma|^2. Para percentagem:
\%\\ \text{refletida}=100\%\times|\Gamma|^2.
Explicação intuitiva: se |\Gamma|=0{,}2, então 4\% da potência volta para trás.

Passo 3

Calcular \omega e os termos \,j\omega L e \,j\omega C:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot1\times10^{6}\\ \text{rad/s}\approx6{,}283185307\times10^{6}\\ \text{rad/s}.
j\omega L = j\,(6{,}283185307\times10^{6})\cdot(1\times10^{-6})=j\,6{,}283185307\\ \Omega/\text{m}.
j\omega C = j\,(6{,}283185307\times10^{6})\cdot(400\times10^{-12})=j\,2{,}513274123\times10^{-3}\\ \text{S}/\text{m}.

Passo 4

Calcular numericamente Z_0 usando a fórmula completa. Primeiro escrevo os numeradores e denominadores complexos:
R+j\omega L = 0{,}1 + j\,6{,}283185307,
G+j\omega C = 0{,}00004 + j\,0{,}002513274123.
Agora o quociente complexo \dfrac{R+j\omega L}{G+j\omega C} pode ser calculado multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Vou mostrar as partes reais e imaginárias resultantes (contas passo a passo):
Multiplicando:
(R+j\omega L)(G-j\omega C) = (R G + \omega L\cdot\omega C) + j(\omega L\cdot G - R\cdot\omega C).
Calculemos os termos:
  • R G = 0{,}1\times0{,}00004 = 0{,}000004.
  • \omega L\cdot\omega C = (6{,}283185307)\times(0{,}002513274123)\approx0{,}015789473384.
  • \omega L\cdot G = 6{,}283185307\times0{,}00004=0{,}0002513274123.
  • R\cdot\omega C = 0{,}1\times0{,}002513274123=0{,}0002513274123.
Observe que \omega L\cdot G e R\cdot\omega C são numericamente iguais, então a parte imaginária do produto é zero:
\omega L\cdot G - R\cdot\omega C = 0.
Logo o quociente é real e igual a
\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}=\frac{R G + \omega^2 L C}{G^2+(\omega C)^2}.
Substituindo números:
\text{numerador}=0{,}000004+0{,}015789473384=0{,}015793473384,
\text{denominador}=0{,}00004^2+(0{,}002513274123)^2\approx6{,}318146941\times10^{-6}.
Dividindo:
\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}\approx\frac{0{,}015793473384}{6{,}318146941\times10^{-6}}\approx2499{,}0.
Agora Z_0=\sqrt{2499{,}0}\approx49{,}99\\ \Omega. Para fins práticos isso é essencialmente 50\\ \Omega (valor típico para linhas coaxiais).

Passo 5

Calcular o coeficiente de reflexão na carga:
\Gamma=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=\frac{75-49{,}99}{75+49{,}99}\approx\frac{25{,}01}{124{,}99}\approx0{,}20008\approx0{,}2.
É um número real positivo porque Z_L e Z_0 são essencialmente reais e Z_L>Z_0.

Passo 6

Calcular a percentagem da potência incidente que é refletida:
|\Gamma|^2 \approx(0{,}20008)^2\approx0{,}04003,
logo em percentagem:
100\%\times|\Gamma|^2 \approx 4{,}003\%\approx 4{,}0\%.
Motivação final curta e encorajamento: o resultado mostra que, com uma linha de Z_0\approx50\\ \Omega e carga 75\\ \Omega, cerca de 4\% da potência volta — um valor pequeno mas não desprezível. Você conseguiu entender o passo a passo; na prova foque em lembrar as fórmulas de Z_0 e \Gamma e em calcular \omega primeiro.

Resposta

4{,}0%

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