1 - Uma linha de transmissão é usada para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}. A frequência de operação é de 1 MHz e a linha tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=40 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mathrm{R}=0,1 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=1 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m} e \mathrm{C}=400 \mathrm{pF} / \mathrm{m}.
(1,0) b) \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50 \Omega, determinar o comprimento máximo da linha de modo que a atenuação total não seja maior que 6,95 \mathrm{~dB};

Passo 1

O enunciado pede que, para uma linha de transmissão com parâmetros por metro dados e operação em 1\\ \mathrm{MHz}, se encontre o comprimento máximo da linha tal que a atenuação total não exceda 6{,}95\\ \mathrm{dB}. Os dados fornecidos são (peguei todos do enunciado):
  • f = 1\\ \mathrm{MHz}.
  • R = 0{,}1\\ \Omega/\mathrm{m}.
  • L = 1\\ \mu\mathrm{H}/\mathrm{m} = 1\times10^{-6}\\ \mathrm{H}/\mathrm{m}.
  • G = 40\\ \mu\mathrm{S}/\mathrm{m} = 40\times10^{-6}\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.
  • C = 400\\ \mathrm{pF}/\mathrm{m} = 400\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
  • Carga \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}=50\\ \Omega (não é necessária para o cálculo da atenuação com os parâmetros por metro; serve para outras análises como casamento de impedância).
  • Atenuação máxima permitida: A_{\max}=6{,}95\\ \mathrm{dB}.
O que devemos encontrar: o comprimento máximo \ell_{\max} tal que a atenuação total da linha em dB satisfaz \;A(\ell_{\max}) \le 6{,}95\\ \mathrm{dB}.

Passo 2

Conceito e método: a atenuação por unidade de comprimento de uma linha é dada pela parte real da constante de propagação \gamma. A constante de propagação é
\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)},
onde \omega = 2\pi f. Aqui \alpha tem unidade de nepers por metro (Np/m). Para converter para decibéis por metro usamos a relação
1\\ \mathrm{Np} = 8{,}685889638\\ \mathrm{dB},
portanto a atenuação em \mathrm{dB/m} é
\alpha_{\mathrm{dB/m}} = \alpha\cdot 8{,}685889638.
A atenuação total em dB ao longo de um comprimento \ell é
A(\ell) = \alpha_{\mathrm{dB/m}}\cdot \ell.
Logo o comprimento máximo pedido é
\ell_{\max}=\frac{A_{\max}}{\alpha_{\mathrm{dB/m}}} = \frac{A_{\max}}{\alpha\cdot 8{,}685889638}.
Resumo do procedimento prático:
  1. calcular \omega;
  2. formar R+j\omega L e G+j\omega C;
  3. multiplicar e tirar raiz quadrada complexa para obter \gamma;
  4. extrair \alpha=\Re(\gamma);
  5. converter para dB/m e dividir 6{,}95\\ \mathrm{dB} por esse valor.

Passo 3

Calcular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s} \approx 6{,}283185307\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular os termos complexos por metro:
R + j\omega L = 0{,}1 + j(\omega\cdot 1\times10^{-6}).
Como \omega\cdot 1\times10^{-6} \approx 6{,}283185307, obtemos
R + j\omega L = 0{,}1 + j6{,}283185307\\ \Omega/\mathrm{m}.
G + j\omega C = 40\times10^{-6} + j(\omega\cdot 400\times10^{-12}).
Como \omega\cdot 400\times10^{-12} = \omega\cdot 4\times10^{-10}\approx 0{,}002513274123, obtemos
G + j\omega C = 0{,}00004 + j0{,}002513274123\\ \mathrm{S}/\mathrm{m}.

Passo 5

Multiplicar os dois complexos:
(R+j\omega L)(G+j\omega C) = (0{,}1 + j6{,}283185307)(0{,}00004 + j0{,}002513274123).
Produto (usando (a+jb)(c+jd)=ac-bd + j(ad+bc)):
  • parte real:
ac - bd = 0{,}1\cdot 0{,}00004 - 6{,}283185307\cdot 0{,}002513274123 = 0{,}000004 - 0{,}01579136704 = -0{,}01578736704.
  • parte imaginária:
ad + bc = 0{,}1\cdot 0{,}002513274123 + 6{,}283185307\cdot 0{,}00004 = 0{,}0002513274123 + 0{,}0002513274123 = 0{,}0005026548246.
Portanto o produto é
P = -0{,}01578736704 + j\,0{,}0005026548246.

Passo 6

Agora \gamma = \sqrt{P}. Para extrair a parte real \alpha de forma numérica estável usamos a fórmula da raiz quadrada de um número complexo x+jy:
\Re(\sqrt{x+jy}) = \sqrt{\frac{|x+jy| + x}{2}}, \qquad \Im(\sqrt{x+jy}) = \operatorname{sgn}(y)\sqrt{\frac{|x+jy| - x}{2}},
onde |x+jy|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aplicando a isso com x=-0{,}01578736704 e y=0{,}0005026548246:
Calcular a magnitude
|P| = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \approx \sqrt{(0{,}01578736704)^{2} + (0{,}0005026548246)^{2}} \approx 0{,}01579493677.

Passo 7

Calcular \alpha usando a fórmula:
\alpha = \sqrt{\frac{|P| + x}{2}} = \sqrt{\frac{0{,}01579493677 - 0{,}01578736704}{2}} = \sqrt{\frac{0{,}00000756973}{2}} \approx 1{,}93\times10^{-3}\\ \mathrm{Np}/\mathrm{m}.
(aproximação numérica: \alpha \approx 0{,}00193\\ \mathrm{Np/m}). A parte imaginária \beta sairia aproximadamente \beta\approx 0{,}12566\\ \mathrm{rad/m} (não necessária para o comprimento, mas mostra a propagação de fase).

Passo 8

Converter \alpha para decibéis por metro:
\alpha_{\mathrm{dB/m}} = \alpha\cdot 8{,}685889638 \approx 0{,}00193 \times 8{,}685889638 \approx 0{,}01675\\ \mathrm{dB}/\mathrm{m}.

Passo 9

Encontrar o comprimento máximo permitido:
\ell_{\max}=\frac{A_{\max}}{\alpha_{\mathrm{dB/m}}} = \frac{6{,}95}{0{,}01675}\\ \mathrm{m} \approx 415\\ \mathrm{m}.
Interpretação: uma linha deste tipo em 1\\ \mathrm{MHz} pode ter aproximadamente 415\\ \mathrm{m} antes que a atenuação acumulada atinja 6{,}95\\ \mathrm{dB}.

Passo 10

Resumo e dica prática: o passo crítico é calcular corretamente \gamma=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)} e extrair \alpha. Uma forma rápida em prova é montar os termos numéricos, calcular o produto complexo (dar atenção ao sinal da parte real), usar a fórmula da raiz quadrada para número complexo (a que usamos no Passo 6) e então converter Np/m para dB/m. Se houver necessidade de mais precisão, usa-se calculadora científica para a raiz quadrada complexa; para estimativas a ordem de 10^{-3}\\ \mathrm{Np/m} e 10^{2}\\ \mathrm{m} é típica nestes parâmetros.

Resposta

\ell_{\max}\approx 415\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados