Uma linha uniforme de cargas \operatorname{com} \lambda=\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right) \cdot 10^{-8} \mathrm{C} / \mathrm{m}, situa-se ao longo do eixo x. Uma película de cargas, com densidade uniforme \sigma, está situada em y=5 \mathrm{~m}. Ao longo da reta y=3 \mathrm{~m} e z=3 \mathrm{~m} o campo elétrico \vec{E} possui somente componente z. Qual o valor de \sigma da película?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dado: uma linha uniforme de cargas ao longo do eixo x com densidade linear \lambda=\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)\cdot 10^{-8}\\ \mathrm{C/m}.
  • Dado: uma película (placa) de cargas com densidade superficial uniforme \sigma situada no plano y=5\\ \mathrm{m}.
  • Dado: ao longo da reta definida por y=3\\ \mathrm{m} e z=3\\ \mathrm{m} (ou seja, pontos (x,3,3) com x qualquer) o campo elétrico \vec{E} possui somente componente na direção z. Isso significa que, ao longo dessa reta, a componente y do campo é zero: E_y=0.
  • Pedido: determinar o valor de \sigma.

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas dos campos elétricos gerados por cada distribuição (aulas rápidas e diretas).
  • Campo de uma linha infinita de carga (eixo x), a uma distância perpendicular r da linha: E_{\text{linha}}(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e r é a distância no plano perpendicular à linha (aqui r=\sqrt{y^2+z^2}). Esse campo é radial no plano yz, isto é, aponta da linha para fora (se \lambda>0).
Expliquei: essa fórmula vem da simetria cilíndrica e da lei de Gauss; o campo só depende da distância perpendicular r e tem módulo \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r).

Passo 3

Descomposição do campo da linha nas componentes y e z.
  • Seja r=\sqrt{y^2+z^2}. A direção radial tem componentes \hat{r}_y = y/r e \hat{r}_z = z/r. Assim E_{y,\text{linha}} = E_{\text{linha}}\cdot\frac{y}{r}=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\cdot\frac{y}{r}=\frac{\lambda\,y}{2\pi\varepsilon_0 r^2},
E_{z,\text{linha}} = \frac{\lambda\,z}{2\pi\varepsilon_0 r^2}.
Expliquei: multiplicamos o módulo do campo pela fração da componente (coseno do ângulo), que aqui é y/r ou z/r.

Passo 4

Avaliação do campo da linha no ponto da reta dado ( y=3\\ \mathrm{m}, z=3\\ \mathrm{m}).
  • Calcule r: r=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
  • Substituindo em E_{y,\text{linha}}: E_{y,\text{linha}}=\frac{\lambda\cdot 3}{2\pi\varepsilon_0 (3\sqrt{2})^2}=\frac{\lambda\cdot 3}{2\pi\varepsilon_0 \cdot 18}=\frac{\lambda}{12\pi\varepsilon_0}.
Expliquei passo a passo: (3\sqrt{2})^2=18, então o fator simplifica dando \lambda/(12\pi\varepsilon_0). Note que neste ponto E_{y,\text{linha}} aponta para +y se \lambda>0.

Passo 5

Campo devido à película (placa) infinita em y=5.
  • Uma placa infinita com densidade superficial \sigma produz, em cada lado, um campo de módulo E_{\text{placa}}=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0},dirigido perpendicularmente à placa (isto é, ao longo do eixo y aqui). O sinal depende de \sigma: se \sigma>0 o campo aponta para fora da placa em ambos os lados (ou seja, para +y do lado com y>5 e para -y do lado com y<5).
Expliquei: a fórmula vem da aplicação da lei de Gauss para uma folha infinita de carga.

Passo 6

Determinar a direção do campo da placa no ponto y=3.
  • O ponto y=3 está abaixo da placa ( 3<5). Se \sigma>0, o campo da placa nesse ponto aponta no sentido negativo de y. Logo, a componente y do campo da placa é E_{y,\text{placa}}=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},onde o sinal negativo indica direção para -y.
Expliquei: é importante acertar o sinal, porque vamos somar vetores para obter a condição E_y^{\text{total}}=0.

Passo 7

Impor a condição dada no enunciado: ao longo da reta y=3,\\ z=3 o campo tem apenas componente z, portanto a componente y total deve ser zero.
  • Equação vetorial na componente y: E_{y,\text{linha}} + E_{y,\text{placa}} = 0.
  • Substituindo as expressões encontradas: \frac{\lambda}{12\pi\varepsilon_0} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=0.
Expliquei: o primeiro termo é positivo (linha empurra para +y), o segundo negativo (placa empurra para -y quando \sigma>0); somando deve dar zero.

Passo 8

Resolver a equação para \sigma. Simplificamos a equação multiplicando por 2\varepsilon_0:
  • Multiplicando: 2\varepsilon_0\left(\frac{\lambda}{12\pi\varepsilon_0}\right)-2\varepsilon_0\left(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right)=0
\frac{\lambda}{6\pi}-\sigma=0.
  • Logo: \sigma=\frac{\lambda}{6\pi}.
Expliquei: \varepsilon_0 cancela, por isso não precisamos do seu valor numérico.

Passo 9

Substituir o valor numérico de \lambda e simplificar para obter \sigma.
  • Substituindo \lambda=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{6}\right)\cdot 10^{-8}\\ \mathrm{C/m}: \sigma=\frac{1}{6\pi}\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot 10^{-8}\right)=\frac{\sqrt{2}\cdot 10^{-8}}{36\pi}\\ \mathrm{C/m^2}.
  • Avaliando numericamente: \sigma\approx 1{,}25\times 10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}.
Expliquei: fiz a divisão passo a passo: o produto dos denominadores 6\cdot 6=36 aparece, e a constante \pi fica no denominador; ao calcular numericamente obtém-se cerca de 1{,}25\times10^{-10}.

Resposta

\displaystyle \sigma=\frac{\lambda}{6\pi}=\frac{\sqrt{2}\cdot 10^{-8}}{36\pi}\\ \mathrm{C/m^2}\approx 1{,}25\times 10^{-10}\\ \mathrm{C/m^2}

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