Uma linha uniforme de cargas
, situa-se ao longo do eixo
. Uma película de cargas, com densidade uniforme
, está situada em
. Ao longo da reta
e
o campo elétrico
possui somente componente
. Qual o valor de
da película?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Dado: uma linha uniforme de cargas ao longo do eixo
com densidade linear - Dado: uma película (placa) de cargas com densidade superficial uniforme
situada no plano . - Dado: ao longo da reta definida por
e (ou seja, pontos com qualquer) o campo elétrico possui somente componente na direção . Isso significa que, ao longo dessa reta, a componente do campo é zero: . - Pedido: determinar o valor de
.
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas dos campos elétricos gerados por cada distribuição (aulas rápidas e diretas).
- Campo de uma linha infinita de carga (eixo
), a uma distância perpendicular da linha: onde é a permissividade do vácuo e é a distância no plano perpendicular à linha (aqui ). Esse campo é radial no plano , isto é, aponta da linha para fora (se ).
Expliquei: essa fórmula vem da simetria cilíndrica e da lei de Gauss; o campo só depende da distância perpendicular
e tem módulo
.
Passo 3
Descomposição do campo da linha nas componentes
e
.
- Seja
. A direção radial tem componentes e . Assim
Expliquei: multiplicamos o módulo do campo pela fração da componente (coseno do ângulo), que aqui é
ou
.
Passo 4
Avaliação do campo da linha no ponto da reta dado (
,
).
- Calcule
: - Substituindo em
:
Expliquei passo a passo:
, então o fator simplifica dando
. Note que neste ponto
aponta para
se
.
Passo 5
Campo devido à película (placa) infinita em
.
- Uma placa infinita com densidade superficial
produz, em cada lado, um campo de módulo dirigido perpendicularmente à placa (isto é, ao longo do eixo aqui). O sinal depende de : se o campo aponta para fora da placa em ambos os lados (ou seja, para do lado com e para do lado com ).
Expliquei: a fórmula vem da aplicação da lei de Gauss para uma folha infinita de carga.
Passo 6
Determinar a direção do campo da placa no ponto
.
- O ponto
está abaixo da placa ( ). Se , o campo da placa nesse ponto aponta no sentido negativo de . Logo, a componente do campo da placa é onde o sinal negativo indica direção para .
Expliquei: é importante acertar o sinal, porque vamos somar vetores para obter a condição
.
Passo 7
Impor a condição dada no enunciado: ao longo da reta
o campo tem apenas componente
, portanto a componente
total deve ser zero.
- Equação vetorial na componente
: - Substituindo as expressões encontradas:
Expliquei: o primeiro termo é positivo (linha empurra para +y), o segundo negativo (placa empurra para -y quando
); somando deve dar zero.
Passo 8
Resolver a equação para
. Simplificamos a equação multiplicando por
:
- Multiplicando:
- Logo:
Expliquei:
cancela, por isso não precisamos do seu valor numérico.
Passo 9
Substituir o valor numérico de
e simplificar para obter
.
- Substituindo
: - Avaliando numericamente:
Expliquei: fiz a divisão passo a passo: o produto dos denominadores
aparece, e a constante
fica no denominador; ao calcular numericamente obtém-se cerca de
.