Uma película de cargas, com densidade uniforme \sigma=\left(-\frac{1}{3 \pi}\right) \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}, está localizada em z=5 \mathrm{~m} e uma linha uniforme de cargas com \lambda=\left(-\frac{25}{9}\right) \mathrm{nC} / \mathrm{m}, está situada em z=-3 \mathrm{me} y=3 \mathrm{~m}. Encontre \vec{E} em (0,-1,0) \mathrm{m}.

Passo 1

  • Dados do enunciado:
    \displaystyle \sigma=\left(-\frac{1}{3\pi}\right)\,\mathrm{nC/m^{2}} (película localizada em z=5\\ \mathrm{m}).
    \displaystyle \lambda=\left(-\frac{25}{9}\right)\,\mathrm{nC/m} (linha de carga situada em y=3\\ \mathrm{m},\\ z=-3\\ \mathrm{m}; isto é, é uma reta paralela ao eixo x que passa por (y,z)=(3,-3)).
    Ponto onde queremos \vec{E}: \displaystyle P=(0,-1,0)\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede: encontrar o vetor campo elétrico \vec{E} em P devido à superposição da película e da linha.

Passo 2

Explicando as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Campo de uma placa plana infinita com densidade superficial uniforme \sigma: E_{\text{placa}}=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_{0}}aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx 8{,}8541878128\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}). A direção é perpendicular à placa; se \sigma>0 o campo aponta para fora da placa, se \sigma<0 o campo aponta para a placa (isto é, em direção à placa).
    Observação didática: essa fórmula vem da Lei de Gauss aplicada a uma superfície plana infinita; o campo é constante e não depende da distância.
  • Campo de uma linha infinita de carga com densidade linear \lambda a uma distância radial r da linha: E_{\text{linha}}=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_{0}r}a direção é radial no plano perpendicular à linha; para \lambda>0 aponta para fora da linha, para \lambda<0 aponta para a linha.
    Observação didática: essa fórmula também vem da Lei de Gauss aplicada a um cilindro coaxial com a linha infinita.

Passo 3

Campo devido à placa (geometria e direção):
  • A placa está em z=5. O ponto P tem z=0, ou seja, está abaixo da placa. Como \sigma<0, o campo produzido pela placa aponta “para” a placa, isto é, no sentido positivo de z quando observamos o ponto P.
  • Módulo do campo da placa:
    começamos convertendo \sigma para coulomb por metro quadrado: \sigma = -\frac{1}{3\pi}\\ \mathrm{nC/m^{2}} = -\frac{1}{3\pi}\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}.Aplicando a fórmula: E_{\text{placa}}=\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_{0}}=\frac{\frac{1}{3\pi}\times 10^{-9}}{2\varepsilon_{0}}=\frac{10^{-9}}{6\pi\varepsilon_{0}}.Assim o vetor campo da placa em P é \vec{E}_{\text{placa}}=\frac{10^{-9}}{6\pi\varepsilon_{0}}\\ \hat{z}.(positivo em \hat{z} porque \sigma<0 e o ponto está abaixo da placa).

Passo 4

Campo devido à linha (distância, direção e componente):
  • A linha está paralela ao eixo x passando por (y,z)=(3,-3). Para o ponto P=(0,-1,0) a distância perpendicular da linha é a distância entre os pontos (y,z)=(-1,0) e (3,-3) no plano yz: \Delta y = 3-(-1)=4,\qquad \Delta z = -3-0=-3.Portanto a distância radial é r=\sqrt{(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5\\ \mathrm{m}.
  • Direção: o vetor que aponta de P para a linha (no plano yz) é (\Delta y,\Delta z)=(4,-3). A unidade nessa direção é \hat{u}=\frac{1}{5}\big(4\,\hat{y}-3\,\hat{z}\big).Como \lambda<0 o campo aponta em direção à linha, ou seja, exatamente ao longo de \hat{u} (não no sentido oposto).
  • Módulo do campo da linha:
    primeiro converter \lambda: \lambda=-\frac{25}{9}\\ \mathrm{nC/m}=-\frac{25}{9}\times 10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.Aplicando a fórmula: E_{\text{linha}}=\frac{|\lambda|}{2\pi\varepsilon_{0}r}=\frac{\frac{25}{9}\times 10^{-9}}{2\pi\varepsilon_{0}\cdot 5}=\frac{25\times 10^{-9}}{9\cdot 10\pi\varepsilon_{0}}=\frac{25\times 10^{-9}}{90\pi\varepsilon_{0}}.Portanto o vetor campo da linha em P é \vec{E}_{\text{linha}}=E_{\text{linha}}\hat{u} =\frac{\frac{25}{9}\times 10^{-9}}{2\pi\varepsilon_{0}\cdot 5}\cdot\frac{1}{5}\big(4\,\hat{y}-3\,\hat{z}\big).

Passo 5

Simplificação algébrica das componentes (a parte bonita!):
  • Componentes da linha: \vec{E}_{\text{linha}}=\frac{\frac{25}{9}\times 10^{-9}}{2\pi\varepsilon_{0}\cdot 5}\cdot\frac{1}{5}\big(4\,\hat{y}-3\,\hat{z}\big) =\frac{\frac{25}{9}\times 10^{-9}}{2\pi\varepsilon_{0}\cdot 25}\big(4\,\hat{y}-3\,\hat{z}\big).Cancelando 25: \vec{E}_{\text{linha}}=\frac{10^{-9}}{9\cdot 2\pi\varepsilon_{0}}\big(4\,\hat{y}-3\,\hat{z}\big).Podemos separar as componentes: E_{\text{linha},y}=\frac{4\cdot 10^{-9}}{18\pi\varepsilon_{0}},\qquad E_{\text{linha},z}=-\frac{3\cdot 10^{-9}}{18\pi\varepsilon_{0}}.
  • Compare a componente z da linha com a da placa:
    a componente z da placa (do Passo 3) é E_{\text{placa},z}=+\frac{10^{-9}}{6\pi\varepsilon_{0}}.Escrevendo \frac{10^{-9}}{6\pi\varepsilon_{0}} com denominador comum 18\pi\varepsilon_{0} E_{\text{placa},z}=\frac{3\cdot 10^{-9}}{18\pi\varepsilon_{0}}.Então note que E_{\text{linha},z}=-\frac{3\cdot 10^{-9}}{18\pi\varepsilon_{0}}=-E_{\text{placa},z}.Ou seja, as componentes z se cancelam exatamente! (bonito e conveniente para a conta).

Passo 6

Soma vetorial final e valor numérico:
  • Componente x: nenhuma das distribuições tem componente em x, logo E_{x}=0.
  • Componente z: cancelamento exato, logo E_{z}=0.
  • Componente y: vem só da linha: E_{y}=E_{\text{linha},y}=\frac{4\cdot 10^{-9}}{18\pi\varepsilon_{0}}=\frac{2\cdot 10^{-9}}{9\pi\varepsilon_{0}}.Substituindo \varepsilon_{0}\approx 8{,}8541878128\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (só para obter número): E_{y}\approx \frac{2\times 10^{-9}}{9\pi\cdot 8{,}8541878128\times 10^{-12}}\\ \mathrm{N/C}\approx 7{,}99\\ \mathrm{N/C}.
  • Portanto o campo total é somente na direção +\hat{y}: \vec{E}=\frac{2\cdot 10^{-9}}{9\pi\varepsilon_{0}}\,\hat{y}\approx 7{,}99\,\hat{y}\\ \mathrm{N/C}.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=\frac{2\cdot 10^{-9}}{9\pi\varepsilon_{0}}\,\hat{y}\\ \mathrm{N/C}\approx (0,\;7{,}99,\;0)\\ \mathrm{N/C}

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