Uma película de cargas, com densidade uniforme
, está localizada em
e uma linha uniforme de cargas com
, está situada em
. Encontre
em
.
Passo 1
- Dados do enunciado:
(película localizada em ).
(linha de carga situada em ; isto é, é uma reta paralela ao eixo que passa por ).
Ponto onde queremos: - O que se pede: encontrar o vetor campo elétrico
em devido à superposição da película e da linha.
Passo 2
Explicando as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- Campo de uma placa plana infinita com densidade superficial uniforme
: aqui é a permissividade do vácuo ( ). A direção é perpendicular à placa; se o campo aponta para fora da placa, se o campo aponta para a placa (isto é, em direção à placa).
Observação didática: essa fórmula vem da Lei de Gauss aplicada a uma superfície plana infinita; o campo é constante e não depende da distância. - Campo de uma linha infinita de carga com densidade linear
a uma distância radial da linha: a direção é radial no plano perpendicular à linha; para aponta para fora da linha, para aponta para a linha.
Observação didática: essa fórmula também vem da Lei de Gauss aplicada a um cilindro coaxial com a linha infinita.
Passo 3
Campo devido à placa (geometria e direção):
- A placa está em
. O ponto tem , ou seja, está abaixo da placa. Como , o campo produzido pela placa aponta “para” a placa, isto é, no sentido positivo de quando observamos o ponto . - Módulo do campo da placa:
começamos convertendopara coulomb por metro quadrado: Aplicando a fórmula: Assim o vetor campo da placa em é (positivo em porque e o ponto está abaixo da placa).
Passo 4
Campo devido à linha (distância, direção e componente):
- A linha está paralela ao eixo
passando por . Para o ponto a distância perpendicular da linha é a distância entre os pontos e no plano : Portanto a distância radial é - Direção: o vetor que aponta de
para a linha (no plano ) é . A unidade nessa direção é Como o campo aponta em direção à linha, ou seja, exatamente ao longo de (não no sentido oposto). - Módulo do campo da linha:
primeiro converter: Aplicando a fórmula: Portanto o vetor campo da linha em é
Passo 5
Simplificação algébrica das componentes (a parte bonita!):
- Componentes da linha:
Cancelando : Podemos separar as componentes: - Compare a componente
da linha com a da placa:
a componenteda placa (do Passo 3) é Escrevendo com denominador comum dá Então note que Ou seja, as componentes se cancelam exatamente! (bonito e conveniente para a conta).
Passo 6
Soma vetorial final e valor numérico:
- Componente
: nenhuma das distribuições tem componente em , logo . - Componente
: cancelamento exato, logo . - Componente
: vem só da linha: Substituindo (só para obter número): - Portanto o campo total é somente na direção
: