Lista de Exercícios № 5 12) Determinar a probabilidade de que em 200 lances de uma moeda, resultem:
b) exatamente 100 caras.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, em 200 lançamentos de uma moeda honesta, obter exatamente 100 caras. Este é um problema de distribuição binomial, em que contamos o número de “sucessos” \text{cara} em n ensaios independentes, com probabilidade p de sucesso em cada ensaio.

Passo 2

Seja X a variável aleatória que conta o número de caras em 200 lançamentos. Sabemos que
X \sim \mathrm{Bin}\bigl(n=200,\;p=\tfrac12\bigr),
ou seja, para k=0,1,2,\dots,200,
P(X=k) =\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k}.

Passo 3

Para k=100 e p=\tfrac12,
P(X=100) =\binom{200}{100}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{100} =\binom{200}{100}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{200}.

Passo 4

Como \binom{200}{100} é um número muito grande, é habitual aproximar essa probabilidade pelo método da aproximação normal. Para isso, usamos
\mu = np = 200\cdot\tfrac12 = 100, \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{200\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12} = \sqrt{50}\approx 7{,}071.
Então
P(X=100) \approx \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigl(-\tfrac12\cdot 0^2\bigr) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 50}} \approx 0{,}0564.

Resposta

P(X=100) =\binom{200}{100}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{200} \approx 0{,}0564.

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